已知：ABC是直角三角形,∠BCA=90,CM、BN分别为AB、AC边上的中线,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 01:36:30
已知：ABC是直角三角形,∠BCA=90,CM、BN分别为AB、AC边上的中线,
xo@e. wm.Z^ ?GՍ:0&i&(C10uY\\b܌16l)ڿ⏈/暻>羗o{g,C!L#o~r*{'D4 IB~H*^BuouH^JY+3mP#֭; 4>+EhβsbUK+~ҕLD!Ph /zU$ϒ 6#qU0"6΃Q<虱(x(! Xy]V /(Cy2x?,ʸ?>fpO61wm,z农@9Qtiӥ=$!eIV-E `f$ )PCH q*ڵ_:5CĎIejHv*C[ K

已知：ABC是直角三角形,∠BCA=90,CM、BN分别为AB、AC边上的中线,
已知：ABC是直角三角形,∠BCA=90,CM、BN分别为AB、AC边上的中线,

已知：ABC是直角三角形,∠BCA=90,CM、BN分别为AB、AC边上的中线,
设CM与BN相交于D.
因为∠BCA=90°,CM垂直BN,所以△BCN与△BDC相似,从而有BC²=BD*BN.
因为CM、BN分别为AB、AC边上的中线,所以D是重心,所以BD=2/3 BN.
所以BC²=BD*BN=2/3 BN²,所以BN的长为(√6/2)*a
下面证BD=2/3BN,用中位线定理:做NE//CM,因为N为AC中点,所以AE=EM,又M为AB中点,所以BM=2ME,在△BDM和△BNE中,BD/BN=BM/BE=2/3.

设CM与BN相交于O.
因为∠BCA=90°，CM垂直BN,所以BC²=BO*BN.
因为CM、BN分别为AB、AC边上的中线，所以O是重心，所以BO=2/3 BN.
所以BC²=BO*BN=2/3 BN²,所以BN的长为(√6/2)*a