作业帮如图,在梯形ABCD中,AB平行CD,BC=CD,AD垂直BD,E为AB的中点.求证：四边形BCDE是菱形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 16:24:06
如图,在梯形ABCD中,AB平行CD,BC=CD,AD垂直BD,E为AB的中点.求证：四边形BCDE是菱形
如图,在梯形ABCD中,AB平行CD,BC=CD,AD垂直BD,E为AB的中点.求证：四边形BCDE是菱形
如图,在梯形ABCD中,AB平行CD,BC=CD,AD垂直BD,E为AB的中点.求证：四边形BCDE是菱形
证明：
∵AD⊥BD,E为AB的中点
∴DE是Rt⊿ADB的斜边中线
∴DE=½AB=BE
∴∠EDB=∠EBD
∵BC=CD
∴∠CDB=∠CBD
∵AB//CD
∴∠CDB=∠EBD
∴∠CBD=∠EDB
∴CB//DE
∴四边形BCDE是平行四边形【两组对边平行】
又∵BC=CD
∴四边形BCDE是菱形【邻边相等的平行四边形是菱形】
检举 | 2011-10-8 01:27 满意回答 1.∵BC=CD
∴C在BD的中垂线上，作BD的中垂线CF交AB、BD于F、G
又AD⊥BD
∴FG是△ABD的中位线
∴E与F重合
∵EB∥CD BG=DG
∴△EBG≌△CDG(ASA)
∴EG=CG
∴△DEG≌△BCG(SAS)
∴又DE是Rt△ABD的中线
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检举 | 2011-10-8 01:27 满意回答 1.∵BC=CD
∴C在BD的中垂线上，作BD的中垂线CF交AB、BD于F、G
又AD⊥BD
∴FG是△ABD的中位线
∴E与F重合
∵EB∥CD BG=DG
∴△EBG≌△CDG(ASA)
∴EG=CG
∴△DEG≌△BCG(SAS)
∴又DE是Rt△ABD的中线
∴BE=DE=BC
∴四边形BCDE是菱形
2. 易证Rt△ABG≌Rt△CBE
∴∠CEB=∠AGB=∠CGH
∴△CBE∽△CHG
∴∠CHG=∠CBE=90°
∴AH⊥CE
3.∵AB∥CD
∴E、O、G共线
同理F、O、H共线
菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形
∴三角形等高
∴四边形EFGH的对角线互相平分
∴EFGH是矩形
4.依题意可知△ABE和△CDF是等腰直角三角形
斜边的中线=斜边的一半
∴EF=AD-AB/2-CD/2=100-20-20=60cm
收起
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=1/2AB，DE=1/2AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （ASA ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）