已知△ABC中,∠BAC=90°,O是BC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且△SAB,△SAC是等边三角形,（1）证明：（1）证明：SO⊥平面ABC （2）求二面角A-SC-B的余弦值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 22:24:37
已知△ABC中,∠BAC=90°,O是BC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且△SAB,△SAC是等边三角形,（1）证明：（1）证明：SO⊥平面ABC （2）求二面角A-SC-B的余弦值
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已知△ABC中,∠BAC=90°,O是BC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且△SAB,△SAC是等边三角形,（1）证明：（1）证明：SO⊥平面ABC （2）求二面角A-SC-B的余弦值
已知△ABC中,∠BAC=90°,O是BC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且△SAB,△SAC是等边三角形,（1）证明：
（1）证明：SO⊥平面ABC （2）求二面角A-SC-B的余弦值

已知△ABC中,∠BAC=90°,O是BC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且△SAB,△SAC是等边三角形,（1）证明：（1）证明：SO⊥平面ABC （2）求二面角A-SC-B的余弦值
（1）
证明：
因为SAB和SAC是等边三角形,所以SB=SA=AB,且SA=SC=AC
因此SA=SB=SC=AB=AC,假设他们的长度都是a.
因为SB=SC,所以三角形SBC是等腰三角形,SO是底边BC的中线,所以SO垂直平分BC,SO=(根号2)/2 * a
又在直角三角形ABC中,AB=AC=a,所以斜边中线AO = (根号2)/2 * a
在三角形ASO中,SA=a,SO=AO=(根号2)/2 * a
有SA^2 = SO^2 + AO^2
所以角SOA= 90度,即SO垂直AO.
因为SO同时垂直AO和BC,所以SO垂直平面ABC
(2)
取SC的中点P,连接AP和OP,则因为AS=AC,AP是底边的中线,所以AP垂直SC.
又在三角形SBC中,SB=SC=a,BC=(根号2)*a,所以角BSC是90度,即BS垂直SC.
而OP是中位线,所以OP//SB,即OP垂直SC.
所以二面角A-SC-B的夹角就是角APO.
在三角形APO中,AP = (根号3)/2 * a,OP = 1/2 * SB = 1/2 * a,AO = (根号2)/2 * a
所以根据
AP^2 + PO^2 - 2 * AP * PO * cosAPO = AO^2
所以cosAPO = (3/4 + 1/4 - 1/2) / (2 * (根号3)/2 * 1/2)
= 1 / 根号3 = (根号3) / 3

已知△ABC中,∠BAC=58°,O是AB,BC的垂直平分线的交点,求∠BOC 已知Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点,写出O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离关系,并证明 已知Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点,写出O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离关系,并证明 已知△ABC中,∠BAC=58°,O是AB,BC的垂直平分线的交点,求∠BOC的度数. 已知△ABC中,∠BAC=58°,点O是AB,BC的垂直平分线的交点,则∠OBC的度数为 已知△ABC中,∠BAC=58°,O是AB,BC的垂直平分线的交点,求∠BOC的度数. 已知△ABC中,∠BAC=90°,O是BC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且△SAB,△SAC是等边三角形,（1）证明：（1）证明：SO⊥平面ABC （2）求二面角A-SC-B的余弦值 已知△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,AE平分∠BAC,求证：∠C=90° 已知△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,AE平分∠BAC.求证∠C=90° 直角△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于D,DE=PC,以DB为半径作圆O,求证1：AC是圆O的切线.2.AB+EB=AC. 圆O内接△ABC中,∠BOC=58°,则∠BAC的度数是? 如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点,求点O到△ABC的三个顶点A,B,C距离的关系 在△ABC中,已知AB=2,AC=1,∠BAC=120°,O是△ABC的外心,试用向量AB,AC表示向量AO 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°线段AD是边BC 1.已知在直角三角形ABC中,AB=3,AC=4∠BAC=60°,P是△ABC所在平面外一点,若PA⊥平面ABC,且PA=3,求点P到BC的距离.2.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C为圆O上的任意点（C与A,B不重合）.AE⊥PC,AF 已知:如图所示三角形ABC已知:如图所示三角形ABC中,∠ACB-∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于E,∠BAC的外角∠CAD已知:如图所示三角形ABC中,∠ACB-∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于E,∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC 已知:如图,在△ABC中,∠B=65°,∠C=45°,AD是∠BAC平分线.求∠ADB的度数. 已知O为锐角三角形ABC三边垂直平分线的交点,求证：（1）∠BOC=2∠BAC; (2)∠OCB=90°-∠BAC.中间那个点是O,不是C