求概率不等式 [E(XY)]^2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:50:52
求概率不等式 [E(XY)]^2
xAKAǿwqey (&AHX="FzQ/wWF23z>FgU:{M6nRq)ӆ7D1 c+`ݡKn0\oW`[ґYdL,^Yd^w῵l2l۠&;}et))IBEJ &c |ګ=ɫN4j!О YFRe/,\HЦ1@.s[~"z2obOPS

求概率不等式 [E(XY)]^2
求概率不等式 [E(XY)]^2

求概率不等式 [E(XY)]^2
回答：
这是柯西－许瓦兹不等式(Cauchy-Schwarz Inequality).
证：对于任意实变量t,考虑函数
q(t) = E[(X+tY)^2]
= E(Y^2)t^2 + 2E(XY)t + E(X^2).
显然,对于一切实数t,q(t)≥0.这就意味着q(t)的判别式小于等于0,即
4[E(XY)]^2 - 4[E(X)^2 E(Y)^2] ≤ 0.
也就是
[E(XY)]^2 ≤ E(X)^2 E(Y)^2.