高中数学自主招生不等式 求教x,y,z归属于R+ x+y+z=1 x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)]的最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 12:42:31
高中数学自主招生不等式 求教x,y,z归属于R+ x+y+z=1 x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)]的最小值
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高中数学自主招生不等式 求教x,y,z归属于R+ x+y+z=1 x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)]的最小值
高中数学自主招生不等式 求教
x,y,z归属于R+ x+y+z=1 x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)]的最小值

高中数学自主招生不等式 求教x,y,z归属于R+ x+y+z=1 x^4/[y(1-y^2)]+y^4/[z(1-z^2)]+z^4/[x(1-x^2)]的最小值
教你个添项配凑法
x^4/[y(1-y^2)]+(9/64)y(1-y²)+y^4/[z(1-z^2)]+(9/64)z(1-z²)+z^4/[x(1-x^2)]+(9/64)x(1-x²)
≥（6/8）x²+（6/8）y²+（6/8）z²
于是原式≥（6/8）（x²+y²+z²）+（9/64）[-（x+y+z）+（x³+y³+z³）]
=（6/8）（x²+y²+z²）+（9/64）[-1+（x³+y³+z³）]
因为x²+y²+z²≥（1/3）（x+y+z）²=1/3
x³+y³+z³≥（1/9）（x+y+z）³=1/9
所以（6/8）（x²+y²+z²）+（9/64）[-1+（x³+y³+z³）]
≥（6/8）（1/3）+（9/64）[-1+（1/9）]
=（2/8）-（1/8）=1/8
以上等号成立条件均为x=y=z=1/3
于是原式≥1/8
【至于添项配凑法技巧,你可以去网上收收看,可以练习练习】

恒等变化式，一般是取x=y=z时有最值

即x=y=z=1/3

得到最小值1/8

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