作业帮AB是圆O的直径,CD是弦,过A、B两点作CD的垂线,垂足分别为E、F,若AB=10,AE=3,BF=5,求EC的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 10:56:43
AB是圆O的直径,CD是弦,过A、B两点作CD的垂线,垂足分别为E、F,若AB=10,AE=3,BF=5,求EC的长.
AB是圆O的直径,CD是弦,过A、B两点作CD的垂线,垂足分别为E、F,若AB=10,AE=3,BF=5,求EC的长.
AB是圆O的直径,CD是弦,过A、B两点作CD的垂线,垂足分别为E、F,若AB=10,AE=3,BF=5,求EC的长.
RT△ACE 和RT△CBF中
∠ACE+∠BCF=90° ∴∠ACE=∠CBF
△ACE ∽△CBF
∴EC/BF=AE/CF EC*FC=3*5=15 ①
又EC+FC=√（AB²-（BC-AE）²）=√（100-4）=√96 ②
∴EC+15/EC=√96
解之得EC=（√96±6）/2=2√6±3
由题知EC大于FC
取+号 EC=2√6+3
(希望满意）
根号21
过A作EF的平行线交BF于点H
因BF垂直于EF
所以BF垂直于AH
则三角形AHB为直角三角形
AB=10 BH=BF-HF=5-3=2
所以AH平方=10平方-2平方=100-4=96
AH=4倍根号6
即EF=4倍根号6
过O作EF的垂线垂足为J
则J为CD中点（过圆心垂直于弦的直线平分弦）
又AE//OJ...
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过A作EF的平行线交BF于点H
因BF垂直于EF
所以BF垂直于AH
则三角形AHB为直角三角形
AB=10 BH=BF-HF=5-3=2
所以AH平方=10平方-2平方=100-4=96
AH=4倍根号6
即EF=4倍根号6
过O作EF的垂线垂足为J
则J为CD中点（过圆心垂直于弦的直线平分弦）
又AE//OJ//BF,且O为AB中点
所以J为EF中点
那么EC=1/2(EF-CD)
连接CO
在三角形OCJ中，OC=10=2=5，
OJ为梯形AEFB的中位线
所以OJ=1/2(AE+BF)=1/2(3+5)=4
CJ的平方=CO平方-OJ平方=5平方-4平方=25-16=9
所以CJ=3
则CD=2CJ=6
所以EC=1/2(EF-CD)=1/2(4倍根号6-6)=2倍根号6-3
收起
（1）过点O作OG⊥CD于G，则AE∥OG∥BF，根据平行线分线段成比例定理与垂径定理即可证明；
（2）OG是直角梯形ABFE的中位线，则AE+BF=2OG，连接OC，根据勾股定理和垂径定理即可求得OG的长，进而求解．（1）证明：过点O作OG⊥CD于G，
∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，（1分）
又∵OA=OB，
∴GE=GF，（...
全部展开
（1）过点O作OG⊥CD于G，则AE∥OG∥BF，根据平行线分线段成比例定理与垂径定理即可证明；
（2）OG是直角梯形ABFE的中位线，则AE+BF=2OG，连接OC，根据勾股定理和垂径定理即可求得OG的长，进而求解．（1）证明：过点O作OG⊥CD于G，
∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，（1分）
又∵OA=OB，
∴GE=GF，（2分）
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
∴CG=GD，（3分）
∴EG-CG=GF-GD，
即CE=DF；（4分）
（2）连接OC，则OC= 12AB=10，（5分）
∵OG过圆心O，OG⊥CD，
∴CG= 12CD=5，（6分）
∴OG= 53，（7分）
∵梯形ABCD中，EG=GF，AO=OB，
∴OG= 12（AE+BF），
∴AE+EF=2OG= 103．（8分）点评：本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径定理可以把求弦长或圆心角的问题转化为解直角三角形的问题．
收起
阴影部分为矩形 直角梯形的高线的一半减去直角三角形的一边长即可 图中结果写错了，应该是：根号96除以2再减3