作业帮已知Sn是等比数列｛an｝的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:53:19
已知Sn是等比数列｛an｝的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.
已知Sn是等比数列｛an｝的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.
已知Sn是等比数列｛an｝的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.
首项a
2S9=2a(q^9-1)/(q-1)
S3+S6=a(a^3-1)/(q-1)+a(a^6-1)/(q-1)
2S9=S3+S6
显然a不等于0
2(q^9-1)=a^3-1+q^6-1
2q^9=q^3+q^6
2q^7=q+q^4
2aq^7=aq+aq^4
2a8=a2+a5
所以a2,a8,a5成等差数列
证明：
由Sn是等比数列｛an｝的前n项和，S3，S9，S6成等差数列（已知）可得
2* S9=S3+S6
设首项为a1,公比为q，
当q≠1时
等比数列的求和公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
则2*(a1-a9×q)/(1-q)= (a1-a3×q)/(1-q)+ (a1-a6×q)/(1-...
全部展开
证明：
由Sn是等比数列｛an｝的前n项和，S3，S9，S6成等差数列（已知）可得
2* S9=S3+S6
设首项为a1,公比为q，
当q≠1时
等比数列的求和公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
则2*(a1-a9×q)/(1-q)= (a1-a3×q)/(1-q)+ (a1-a6×q)/(1-q)
两边同乘1-q，上式可化简为
2*a9= a3+ a6
两边同除以q，上式可化简为
2*a8= a2+ a5
即：a2，a8，a5成等差数列
当q=1时
a1=a2=a3=a4=…=an
那么a2，a8，a5成公差为0的等差数列
收起
1楼的方法要先说明q等1时不合题意（2S9=S6+S3）
我比较懒，较喜欢用这方法：
（画线…）
S6=S3+a4+a5+a6=S3(1+q^3)
S9=S3+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)=S3(1+q^3+q^6)
由2S9=S3+S6…
由S3=a1(1+q+q^2)不等于0
得2(1+q^3+q^6)=1+1+q^3，q不...
全部展开
1楼的方法要先说明q等1时不合题意（2S9=S6+S3）
我比较懒，较喜欢用这方法：
（画线…）
S6=S3+a4+a5+a6=S3(1+q^3)
S9=S3+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)=S3(1+q^3+q^6)
由2S9=S3+S6…
由S3=a1(1+q+q^2)不等于0
得2(1+q^3+q^6)=1+1+q^3，q不等于0
得q^3=-1/2
由a2=a5/q^3=-2a5，a8=a5*q^3=-1/2*a5
所以…
所证如上。写时不需要这样烦，此方法适于填空选择
数学理解第一，有必要就画图易于理解和寻得暗规律
收起