在四面体ABCD中,AB=AC=BC=BD=CD=1,当此四面体的全面积取得最大值时,求这个四面体的体积

在四面体ABCD中,AB=AC=BC=BD=CD=1,当此四面体的全面积取得最大值时,求这个四面体的体积
在四面体ABCD中,AB=AC=BC=BD=CD=1,当此四面体的全面积取得最大值时,求这个四面体的体积

在四面体ABCD中,AB=AC=BC=BD=CD=1,当此四面体的全面积取得最大值时,求这个四面体的体积
在三棱锥A-BCD中,BC是变量,另外的五条棱都是定值1,四个面的面积中,三角形
ADC,和三角形ADB的面积一定,另外两个三角形是全等的,
当∠BAC=∠BDC=90º时,三棱锥的全面积最大,此时,BC=√2
取BC的对棱AD的中点M点,连接MBMC
AD⊥面BMC
V=(1/3)*S(ΔBMC)*AD
三角形MBC中BC边上的高由勾股定理得：BC边上的高为1/2;
S(ΔBMC)=(1/2)*√2*(1/2)=√2/4
V=(1/3)*S(ΔBMC)*AD=(1/3)*(√2/4)*1=√2/12

以△BCD当做三棱锥的底面，则此底面面积为½×1×（（√3）/2）＝√3.
此三棱锥的“高”取得最大时，四面体体积最大。所以我们取面ABC垂直于底面，得到答案。
此时，三棱锥的高为△ABC的高，就是½√3.
体积为;V＝(1/3)×底面积×高＝（1/3）×√3×½√3＝½。...

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以△BCD当做三棱锥的底面，则此底面面积为½×1×（（√3）/2）＝√3.
此三棱锥的“高”取得最大时，四面体体积最大。所以我们取面ABC垂直于底面，得到答案。
此时，三棱锥的高为△ABC的高，就是½√3.
体积为;V＝(1/3)×底面积×高＝（1/3）×√3×½√3＝½。

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∵AB＝AC＝BC、BC＝BD＝CD，∴△ABC、△DBC的面积是定值。
∵AB＝AC、BD＝CD、AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴当S(△ABD)最大时，V(ABCD)最大。
令AD的中点为E。
∵AB＝BD、AE＝DE，∴BE⊥AD，∴S(△ABD)＝（1/2）BE×AE。
∵BE⊥AE，∴BD^2＋AE^2＝AB^2＝1，又BD^2＋AE^2≧2BE×AE...

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∵AB＝AC＝BC、BC＝BD＝CD，∴△ABC、△DBC的面积是定值。
∵AB＝AC、BD＝CD、AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴当S(△ABD)最大时，V(ABCD)最大。
令AD的中点为E。
∵AB＝BD、AE＝DE，∴BE⊥AD，∴S(△ABD)＝（1/2）BE×AE。
∵BE⊥AE，∴BD^2＋AE^2＝AB^2＝1，又BD^2＋AE^2≧2BE×AE，∴2BE×AE≦1，
∴（1/2）BE×AE≦1/2，∴S(△ABD)≦1/2。
显然，当S(△ABD)取最大值时，需要：BE＝AE，又BE⊥AE，∴BE＝AB/√2＝1/√2。
令BC的中点为F。
∵△ABD≌△ACD、AE＝DE，∴BE＝CE，又BF＝CF，∴EF⊥BC，显然有：BF＝1/2，
∴EF＝√（BE^2－BF^2）＝√（1/2－1/4）＝1/2。
过A作AG⊥DF交DF的延长线于G。
∵BE＝AE、BE⊥AE，∴∠ABE＝45°。
∵AB＝BD、BE⊥AD，∴∠ABE＝∠DBE=45°，∴∠ABD＝90°，∴AD＝√2AB＝√2。
∵△BCD是等边三角形、BF＝CF，∴DF＝（√3/2）BD＝√3/2。
∵BE、CE分别是全等三角形ABD、ACD的对应中线，而DE⊥BE，∴DE⊥CE，
∴DE⊥平面BCE，又EF在平面BCE上，∴DE⊥EF。
由∠DEF＝∠DGA＝90°、∠EDF＝∠GDA，得：△EDF∽△GDA，∴AG/EF＝AD/DF，
∴AG＝EF×AD/DF＝（1/2）×√2/（√3/2）＝√2/√3。
∵AB＝AC、BF＝CF，∴BC⊥AF。
∵BD＝CD、BF＝CF，∴BC⊥DF。
由BC⊥AF、BC⊥DF、AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF，而AG在平面ADF上，∴AG⊥BC。
由AG⊥BC、AG⊥DG、BC∩DG＝F，得：AG⊥平面BCD，
∴AG是四面体ABCD中面BCD上的高。
很明显，S(△BCD)＝（1/2）BC×DF＝（1/2）×1×（√3/2）＝√3/4。
∴V(ABCD)＝（1/3）S(△BCD)×AG＝（1/3）×（√3/4）×（√2/√3）＝√2/12。
∴当此四面体的全面积最大时，其体积是√2/12。

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