作业帮1、设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈[0,正无穷)时,f(x)=x(1+三次根号下x),求f(x)在R上的解析式.2、已知f(x),g(x)分别是（-a,a）上的奇函数和偶函数,求证：f(x)•g(x)是(-a,a)上的奇函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 01:24:47
1、设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈[0,正无穷)时,f(x)=x(1+三次根号下x),求f(x)在R上的解析式.2、已知f(x),g(x)分别是（-a,a）上的奇函数和偶函数,求证：f(x)•g(x)是(-a,a)上的奇函数.
1、设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈[0,正无穷)时,f(x)=x(1+三次根号下x),求f(x)在R上的解析式.
2、已知f(x),g(x)分别是（-a,a）上的奇函数和偶函数,求证：f(x)•g(x)是(-a,a)上的奇函数.
1、设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈[0,正无穷)时,f(x)=x(1+三次根号下x),求f(x)在R上的解析式.2、已知f(x),g(x)分别是（-a,a）上的奇函数和偶函数,求证：f(x)•g(x)是(-a,a)上的奇函数.
楼上有误
1.
令x∈(-∞,0]
则-x∈[0,+∞)
因为x∈[0,+∞)时f(x)=x(1+三次根号下x)
所以f(-x)=-x[1+三次根号下(-x)]
又因为是奇函数,所以f(x)=-f(-x)
所以f(x)=-{-x[1+三次根号下(-x)]}=x[1+三次根号下(-x)] （x∈(-∞,0])
所以f(x)在R上的解析式为：
f(x)=x[1+三次根号下(-x)] , x∈(-∞,0]
f(x)=x(1+三次根号下x) , x∈[0,+∞)
2.
令h(X)=f(x)•g(x)
则h(-X)=f(-x)•g(-x)
因为f(x),g(x)分别是（-a,a）上的奇函数和偶函数
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)
所以h(-X)=f(-x)•g(-x)=-f(x)g(x)=-h(X)
所以h(x)是奇函数
所以f(x)•g(x)是奇函数
1： 因为f(x)是定义在R上的奇函数所以-f(x)=f(-x)
即f(-x)=-x(1+三次根号下-x)，定义域为x≥0
整理得：f(x)(1+三次根号下x) x≤0
所以在R上,f(x)=x(1+三次根号下x)
2：-f(x)=f(-x),g(x)=g(-x)
设f(x)g(x)=h(x)
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)...
全部展开
1： 因为f(x)是定义在R上的奇函数所以-f(x)=f(-x)
即f(-x)=-x(1+三次根号下-x)，定义域为x≥0
整理得：f(x)(1+三次根号下x) x≤0
所以在R上,f(x)=x(1+三次根号下x)
2：-f(x)=f(-x),g(x)=g(-x)
设f(x)g(x)=h(x)
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x)
可知f(x)•g(x)在定义域上为奇函数
收起