作业帮集合、映射,证明题.设映射f：A—>B是可逆的,证明它的逆映射是唯一的.（帮忙请写规范严格的证明过程,否则没什么帮助的）答得不错，但我希望用更数学一点的语言，再严格一点。我自己看
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 23:45:15
集合、映射,证明题.设映射f：A—>B是可逆的,证明它的逆映射是唯一的.（帮忙请写规范严格的证明过程,否则没什么帮助的）答得不错，但我希望用更数学一点的语言，再严格一点。我自己看
集合、映射,证明题
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设映射f：A—>B是可逆的,证明它的逆映射是唯一的.
（帮忙请写规范严格的证明过程,否则没什么帮助的）
答得不错，但我希望用更数学一点的语言，再严格一点。
我自己看书写了一个，麻烦大家帮我看看，把不足和错误指出来：
证明：
对任意y∈B，
f:A->B可逆，即存在g:B->A,唯一存在x1∈A,使f(x1)=y;
假设还存在g':B->A,(g'≠g),是f的逆映射，
还存在唯一x2∈A,使f(x2)=y;
f(x1)=y=f(x2)，与x1、x2唯一存在相矛盾，所以，
不存在g':B->A,(g'≠g),是f的逆映射。
又修改了一下：
对任意y∈B，
f:A->B可逆，即存在g:B->A,唯一存在x1∈A,使f(x1)=y;
假设还存在g':B->A,(g'≠g),是f的逆映射，
还存在唯一x2∈A,使f(x2)=y;
若x1≠x2，则x1、x2均不满足唯一存在性，所以x1=x2；
又由y的任意性，所以，
对任意y∈B通过g或g'得到同一个x∈A，即g=g',这与假设相矛盾，
所以，不存在g':B->A,(g'≠g),是f的逆映射。
难道我就要倒在证明题的脚下！
allanyz
“根据函数不相等的定义……x1 ≠ x2”
函数定义是建立在映射定义之上的，证明映射问题时用到函数定义，有些疑惑了；
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基本上清楚了，我并不熟练。
另外，allan能不能帮忙看看我的证明，可有何不足或不妥集合、映射,证明题.设映射f：A—>B是可逆的,证明它的逆映射是唯一的.（帮忙请写规范严格的证明过程,否则没什么帮助的）答得不错，但我希望用更数学一点的语言，再严格一点。我自己看
假设g和h都是f的逆映射,g ≠ h,那么根据函数不相等的定义,就必然存在y ∈ B,使得g(y) = x1,h(y) = x2,x1,x2 ∈ A,x1 ≠ x2.
因为h是逆映射,根据定义,h(y) = x2意味着f(x2) = y.
但是因为g也是逆映射,同样根据定义,f(x2) = y意味着g(y) = x2,这与g(y) = x1 ≠ x2矛盾.
矛盾说明了假设的错误,逆映射惟一.
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也可以说“根据映射不相等的定义”啦,这里随便的.
两个映射g和h要相等,必须定义域同、值域同、对应关系同,也就是对任意的x,g(x) = h(x).现在要不相等,那就否定它,也就是存在x,使得g(x) ≠ h(x).
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lz你是先假定存在g和g',然后证明g = g',这个思路是同一法,而不是反证法,所以你用反证法的语言去叙述,看起来不免别扭.如果用同一法,证明应该这样写：
设g和g'都是f的逆映射,那么根据逆映射存在的条件,对任意的y ∈B,有且仅有惟一的x ∈A使得f(x) = y.
再根据逆映射的定义,g(y) = x,g'(y) = x.即g(y) = g'(y).
y的任意性说明了g = g',因此逆映射惟一.