作业帮（1）点（x,y)绕点（a,b)旋转,旋转角为M,求旋转后的坐标(2)曲线C绕绕点（a,b)旋转,旋转角为M,求旋转后的曲线方程如抛物线y=ax^2绕原点旋转45°注：要求写出过程和最终的一般式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 16:40:22
（1）点（x,y)绕点（a,b)旋转,旋转角为M,求旋转后的坐标(2)曲线C绕绕点（a,b)旋转,旋转角为M,求旋转后的曲线方程如抛物线y=ax^2绕原点旋转45°注：要求写出过程和最终的一般式
（1）点（x,y)绕点（a,b)旋转,旋转角为M,求旋转后的坐标
(2)曲线C绕绕点（a,b)旋转,旋转角为M,求旋转后的曲线方程
如抛物线y=ax^2绕原点旋转45°
注：要求写出过程和最终的一般式
（1）点（x,y)绕点（a,b)旋转,旋转角为M,求旋转后的坐标(2)曲线C绕绕点（a,b)旋转,旋转角为M,求旋转后的曲线方程如抛物线y=ax^2绕原点旋转45°注：要求写出过程和最终的一般式
首先假设题中的旋转全为逆时针方向
1）设点(x,y)为P,点(a,b)为Q,旋转后坐标为P'(x',y'),令p=x-a,q=y-b,p'=x'-a,q'=y'-b
将坐标系原点平移到点Q,则P为(p,q),P'为(p',q')
P’为P在新坐标系下绕原点旋转M得到的点,即|QP|=|QP'|
QP与x轴夹角α满足,|QP| =√(p²+q²),|QP|cosα = p,|QP|sinα=q
QP与x轴夹角β满足,β=α+M
则p'=|QP'|cosβ = |QP|cos(α+M) = |QP|cosαcosM-|QP|sinαsinM=pcosM-qsinM
同理q'=|QP'|sinβ = qcosM+psinM
即得到旋转后的P'点坐标,下面计算原坐标系中P‘的坐标
所以x'=p'+a = (x-a)cosM-(y-b)sinM+a,y'=(x-a)sinM+(y-b)cosM+b
即旋转后的坐标为( (x-a)cosM-(y-b)sinM+a,(x-a)sinM+(y-b)cosM+b )
2)设曲线C的方程为f(x,y)=0,则旋转后的曲线为
f( (x-a)cosM-(y-b)sinM+a,(x-a)sinM+(y-b)cosM+b )=0（每个点进行了旋转,但曲线形状没变,曲线的坐标满足的函数关系没变,所以旋转后的曲线只需要将坐标进行代入即可）
抛物线y=ax^2绕原点旋转45°
则(xsin45°+ycos45°) = a(xcos45°-ysin45°)²
化简后得到旋转后的抛物线方程为√2(x+y)=a(x-y)²