作业帮向三角形ABC外构造等边三角形ABD和ACE,P是AD中点,N是CE中点,BM=3MC.求证:PN=2MN
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 05:29:51
向三角形ABC外构造等边三角形ABD和ACE,P是AD中点,N是CE中点,BM=3MC.求证:PN=2MN
向三角形ABC外构造等边三角形ABD和ACE,P是AD中点,N是CE中点,BM=3MC.求证:PN=2MN
向三角形ABC外构造等边三角形ABD和ACE,P是AD中点,N是CE中点,BM=3MC.求证:PN=2MN
令BC的中点、AB的中点、AC的中点依次为F、G、H,令AG的中点为J,令AC交EF于K.
∵△ABD、△ACE都是等边三角形,又G、H分别是AB、AC的中点,
∴DG＝（√3/2）AB、HE＝（√3/2）AC.
∵G、J分别是AB、AG的中点,∴BJ＝3AJ,又BM＝3CM,∴BJ/AJ＝BM/CM,∴JM∥AC,
∴△JBM∽△ABC,∴JM/AC＝BM/BC＝BM/（BM＋CM）＝3CM/（3CM＋CM）＝3/4,
∴JM＝（3/4）AC.
∵F、H分别是BC、AC的中点,∴FH是△ABC的中位线,∴FH＝（1/2）AB.
∵P、J分别是AD、AG的中点,∴PJ是△ADG的中位线,∴PJ＝（1/2）DG＝（√3/4）AB.
由PJ＝（√3/4）AB、FH＝（1/2）AB、JM＝（3/4）AC、EH＝（√3/2）AC,得：
PJ/FH＝JM/HE＝√3/2.
∵FH是△ABC的中位线,∴FH∥BA,∴∠FHC＝∠BAC.
∵JM∥AC,∴∠BJM＝∠BAC,∴∠BJM＝∠FHC.
明显有：∠DGB＝∠EHC＝90°.
∵PJ是△ADG的中位线,∴PJ∥DG,∴∠DGB＝∠PJB,∴∠PJB＝90°.
由∠BJM＝∠FHC、∠PJB＝∠EHC＝90°,得：∠BJM＋∠PJB＝∠FHC＋∠EHC,
∴∠PJM＝∠FHE,而PJ/FH＝JM/HE,∴△JPM∽△HFE,∴∠JMP＝∠HEK.
∵BM＝3CM,∴CM＝（1/4）BC,又FC＝（1/2）BC,∴FC＝2CM,∴M是FC的中点,.
∵M、N分别是FC、CE的中点,∴MN是△CEF的中位线,∴MN∥EF.
由JM∥AC、MN∥EF得：∠JMN＝∠HKE.
∴∠PMN＝∠JMP＋∠JMN＝∠HEK＋∠HKE.
∵∠EHK＝90°,∴∠HEK＋∠HKE＝90°,∴∠PMN＝90°.
∵△JPM∽△HFE,∴PM/EF＝PJ/FH＝√3/2.
∵MN是△CEF的中位线,∴EF＝2MN,∴PM/EF＝PM/（2MN）＝√3/2,∴PM/MN＝√3.
由∠PMN＝90°,得：cot∠MPN＝PM/MN＝√3,∴∠MPN＝30°.
由∠PMN＝90°、∠MPN＝30°,得：PN＝2MN.