已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 18:53:23
已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3
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已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3
已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3

已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3
【注：若x≥y>0.===>x/y≥1,且x-y≥0.===>(x/y)^(x-y)≥1.===>(x/y)^x≥(x/y)^y.===>(x^x)(y^y)≥(x^y)(y^x).由此可得引理：若x≥y>0,则(x^x)(y^y)≥(x^y)(y^x).】证明：不妨设a≥b≥c>0.则由引理可知,(a^a)(b^b)≥(a^b)(b^a)>0.（b^b)(c^c)≥(b^c)(c^b)>0,(a^a)(c^c)≥(a^c)(c^a)>0.又(a^a)(b^b)(c^c)=(a^a)(b^b)(c^c).以上四式相乘可得：[(a^a)(b^b)(c^c)]^3≥(abc)^(a+b+c)>0.两边再开3次方,可得(a^a)(b^b)(c^c)≥(abc)^[(a+b+c)/3].证毕!

取对数不等式lg（a^ab^bc^c）=alga+blgb+clgc
因为a>b>c>0,so lga>lgb>lgc
alga+blgb+clgc>algb+blgc+clga
algc+blgb+clgc>algc+blga+clgb
alga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc
以上三式相加：3lg（a^ab^bc^c）>algb+blg...

全部展开

取对数不等式lg（a^ab^bc^c）=alga+blgb+clgc
因为a>b>c>0,so lga>lgb>lgc
alga+blgb+clgc>algb+blgc+clga
algc+blgb+clgc>algc+blga+clgb
alga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc
以上三式相加：3lg（a^ab^bc^c）>algb+blgc+clga+algc+blga+clgb+alga+blgb+clgc=(a+b+c)(lga+lgb+lgc)=lg(abc)^(a+b+c)
同时取消对数就得到：a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3

收起

已知a+b+c=0,求证：ab+bc+ca 已知a+b+c=0,求证：ab+bc+ca 已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3 已知a+b+c=1求证ab+bc+ca 已知a+b+c=1求证ab+ac+bc 已知a.>b>c求证ab+bc+ca>ab+bc+ca 已知a,b,c成等差数列,求证a-bc,b-ac,c-ab是等差数列 已知a,b,c成等差数列.求证a-bc,b-ac,c-ab是等比数列. 已知a,b,c∈R,求证(a+b+c)^2≥(ab+bc+ac) 已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca小于等于0 已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca小于等于0 不等式证明题已知a+b+c=0求证 ab+bc+ac≤0 已知a+b+c=0 求证ab+bc+ca＜0 已知a+b+c=0,求证ab+bc+ac=1 已知 a+b+c=0.求证：ab+bc+ca≤0 已知a²+b²+c²-ab-bc-ca=0,求证∶a=b=c已知a平方+b平方+c平方-ab-bc-ca=0,求证∶a=b=c 已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0用反证法. 已知a大于0,b大于0,c大于0,求证bc/a + ac/b + ab/c 大于等于abc