已知函数f(x)=ax·lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0 (e为自然对数的底) (1)求实数a,b的值及f(x)的解析式; (2)若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值; (3)若关于x的不等式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/08 07:58:43
![已知函数f(x)=ax·lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0 (e为自然对数的底) (1)求实数a,b的值及f(x)的解析式; (2)若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值; (3)若关于x的不等式](/uploads/image/z/12533945-41-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax%C2%B7lnx%2Bb%28a%2Cb%E2%88%88R%29%2C%E5%9C%A8%E7%82%B9%EF%BC%88e%2Cf%28e%29%EF%BC%89%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%98%AF2x-y-e%3D0+%28e%E4%B8%BA%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%BA%95%29+%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%2Cb%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%8F%8Af%28x%29%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F%EF%BC%9B+%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5t%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%95%B0%2C%E8%AE%BEh%28x%29%3Df%28x%29%2Bf%28t-x%29%2C%E6%B1%82h%28x%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%EF%BC%9B+%EF%BC%883%EF%BC%89%E8%8B%A5%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F)
已知函数f(x)=ax·lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0 (e为自然对数的底) (1)求实数a,b的值及f(x)的解析式; (2)若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值; (3)若关于x的不等式
已知函数f(x)=ax·lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0 (e为自然对数的底)
(1)求实数a,b的值及f(x)的解析式;
(2)若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值;
(3)若关于x的不等式x ln x+(6-x)≥(k^2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,求实数k的取值范围.
已知函数f(x)=ax·lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0 (e为自然对数的底) (1)求实数a,b的值及f(x)的解析式; (2)若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值; (3)若关于x的不等式
f(e)=ae+b
f'(x)=alnx + a
∴f'(e)=2a
∴f(x)在x=e处的切线方程为y=f'(e)x+f(e)-ef'(e)=2ax-ae+b
与已知y=2x-e比较可得
2a=2
-ae+b=-e
∴a=1
b=0
(1)依题意有2e-f(e)-e=0,∴f(e)=e
∵f(x)=axlnx+b,∴f′(x)=alnx+a+b
∴f′(e)=alne+a+b=2,∴2a+b=2,∴b=2-2a
∵点(e,f(e))在函数f(x)=axlnx+b上
∴f(e)=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e,∴a=1
∴b=0,∴f(x)=xlnx;
...
全部展开
(1)依题意有2e-f(e)-e=0,∴f(e)=e
∵f(x)=axlnx+b,∴f′(x)=alnx+a+b
∴f′(e)=alne+a+b=2,∴2a+b=2,∴b=2-2a
∵点(e,f(e))在函数f(x)=axlnx+b上
∴f(e)=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e,∴a=1
∴b=0,∴f(x)=xlnx;
故实数a=1,b=0,f(x)=xlnx …(4分)
(2)h(x)=f(x)+f(t-x)=xlnx+(t-x)ln(t-x),h(x)的定义域为(0,t);…(5分)
h′(x)=lnx+1-[ln(t-x)+1]=lnx t-x …(6分)
由h′(x)>0得t 2 <x<t;h′(x)<0得0<x<t 2 …(8分)
∴h(x)在(t 2 ,t)上是增函数,在(0,t 2 )上是减函数
∴h(x)min=h(t 2 )=tlnt 2 …(10分)
(3)∵xlnx+(6-x)ln(6-x)=f(x)+f(6-x)=h(x)
由(2)知,h(x)min=h(t 2 )=tlnt 2 ,∴t=6,h(x)min=h(3)=6ln3=ln729
∵关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,
∴ln(k2-72k)≤ln729
∴ k2-72k>0 k2-72k≤729
∴-9≤k<0或72<k≤81…(13分)
故实数k的取值范围为[-9,0)∪(72,81].…(14分)
收起