作业帮设A=4444,B=A?A(A的A次方),C为B的所有数字之和,D为C的所有数字之和,E为D的所有数字之和,求E的值?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 07:26:05
设A=4444,B=A?A(A的A次方),C为B的所有数字之和,D为C的所有数字之和,E为D的所有数字之和,求E的值?
设A=4444,B=A?A(A的A次方),C为B的所有数字之和,D为C的所有数字之和,E为D的所有数字之和,求E的值?
设A=4444,B=A?A(A的A次方),C为B的所有数字之和,D为C的所有数字之和,E为D的所有数字之和,求E的值?
答案是7
设f(x)为求一未知数的所有数字之和的函数表达式
已知：10≡1(mod9),10^2≡1(mod9),10^3≡1(mod9),……,10^n≡1(mod9)
令：x=a0*10^0+a1*10^1+a2*10^2+a3*10^3+……+an*10^n令(0≤ai≤9,0≤i≤n)
则：x(mod9)≡a0*10^0+a1*10^1+a2*10^2+a3*10^3+……+an*10^n(mod9)≡f(x)(mod9)
结论1：f(x)≡x(mod9)
B=4444^4444≡7^4444≡49^2222(mod9)
≡4^2222≡8^1480*2^4(mod9)
≡(-1)^1480*2^4(mod9)
≡1*16(mod9)
≡7(mod9)
根据结论1,有：
结论2：f(f(f(4444^4444)))≡f(f(4444^4444))≡f(4444^4444)≡7(mod9),即E≡D≡C≡B≡7(mod9)
B=4444^4444≤(10^4)^4444=10^17776
C=f(B)=f(4444^4444)≤(17776-1)*9=159975
D=f(C)=f(f(4444^4444))≤f(159975)≤1+4+9+9+9+9=41
E=f(D)=f(f(f(4444^4444)))≤f(41)≤3+9=12
结论3：1≤E≤12
根据结论2和3,E=7
检举（1）首先 B的位数=4444*log4444+1 <4444*4=17776
所以 C<=17776*9<160000
因此 C的位数
所以 E为一位数或者是不超过13的二位数
（2）一个数与他的所有数字之和的差一定是9的倍数
因此 B-C ,C-D,D-E一定是9的倍数
所以...
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检举（1）首先 B的位数=4444*log4444+1 <4444*4=17776
所以 C<=17776*9<160000
因此 C的位数
所以 E为一位数或者是不超过13的二位数
（2）一个数与他的所有数字之和的差一定是9的倍数
因此 B-C ,C-D,D-E一定是9的倍数
所以 （B-C）+（C-D）+（D-E）=B-E也一定是9的倍数
因此 E等于B除9的余数
（3）下面利用模运算求B除9的余数
E=(4444)^4444(mod9)=(4446-2)^4444(mod9)=2^4444(mod9)
2^4437*2^7(mod9)=2^4437(mod9)*2^7(mod9)=8^1479(mod9)*2(mod9)
=(9-1)^1479(mod9)*2(mod9)=(-1)^1479(mod9)*2(mod9)
=-1(mod9)*2(mod9)=-2(mod9)=7(mod9)
所以 E=7
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