老师 高数计算二重积分I=∫∫(R^2-x^2-y^2)^1/2 其中D是园x^2+y^2=Ry是不是还要考虑绝对值什么的?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 11:47:08
老师 高数计算二重积分I=∫∫(R^2-x^2-y^2)^1/2 其中D是园x^2+y^2=Ry是不是还要考虑绝对值什么的?
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老师 高数计算二重积分I=∫∫(R^2-x^2-y^2)^1/2 其中D是园x^2+y^2=Ry是不是还要考虑绝对值什么的?
老师 高数计算二重积分I=∫∫(R^2-x^2-y^2)^1/2 其中D是园x^2+y^2=Ry
是不是还要考虑绝对值什么的?

老师 高数计算二重积分I=∫∫(R^2-x^2-y^2)^1/2 其中D是园x^2+y^2=Ry是不是还要考虑绝对值什么的?
原式=∫dθ∫(R^2-r^2)^(1/2)*rdr (作极坐标变换)
=(-1/2)∫dθ∫(R^2-r^2)^(1/2)d(R^2-r^2)
=(-1/2)∫(2/3)(R^3(cosθ)^3-R^3)dθ
=(R^3/3)∫(1-(cosθ)^3)dθ
=(R^3/3)π
=πR^3/3.