作业帮观察,分析,猜想并对猜想的正确性予以说明.1×2×3×4＋1=5² 2×3×4×5+1=11² 3×4×5×6＋1=19² 4×5×6×7＋1=29²n(n＋1)（n＋2）(n＋3)＋1=?n为正整数,并说明它的正确性
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 11:23:10
观察,分析,猜想并对猜想的正确性予以说明.1×2×3×4＋1=5² 2×3×4×5+1=11² 3×4×5×6＋1=19² 4×5×6×7＋1=29²n(n＋1)（n＋2）(n＋3)＋1=?n为正整数,并说明它的正确性
观察,分析,猜想并对猜想的正确性予以说明.
1×2×3×4＋1=5² 2×3×4×5+1=11² 3×4×5×6＋1=19² 4×5×6×7＋1=29²
n(n＋1)（n＋2）(n＋3)＋1=?n为正整数,并说明它的正确性
观察,分析,猜想并对猜想的正确性予以说明.1×2×3×4＋1=5² 2×3×4×5+1=11² 3×4×5×6＋1=19² 4×5×6×7＋1=29²n(n＋1)（n＋2）(n＋3)＋1=?n为正整数,并说明它的正确性
直接给证明吧
四个相乘一般有技巧,中间两个乘,边上两个相乘
得（n方+3n）（n方+3n+2）+1
这时候一般不全打开括号,全打开不好变成平方得形式,于是把第二个括号看成n方+3n与2的和
再展开就是（n方+3n）的平方+2（n方+3n）+1
明显完全平方公式
变为（n方+3n+1）的完全平方
注：以上属于分析,真正证明如下：
证明：原式=[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1
=（n方+3n）（n方+3n+2）+1
=（n方+3n）的平方+2（n方+3n）+1
=（n方+3n+1）的完全平方
=
猜想：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)+1]^2
证明：当n=1,2时显然成立
假设对n=k时等式成立，即k(k+1)(k+2)(k+3)+1=[k(k+3)+1]^2
则当n=k+1时
左边=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1+4(k+1)(k+2)(k+3)
=[k(k+3)+1...
全部展开
猜想：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)+1]^2
证明：当n=1,2时显然成立
假设对n=k时等式成立，即k(k+1)(k+2)(k+3)+1=[k(k+3)+1]^2
则当n=k+1时
左边=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1+4(k+1)(k+2)(k+3)
=[k(k+3)+1]^2+4(k+1)(k+2)(k+3)
=k^2(k+3)^2+2k(k+3)+1+4(k+1)(k+2)(k+3)
=k^4+10k^3+35k^2+50k+25
而[(k+1)(k+1+3)+1]^2=(k^2+5k+5)^2=k^4+10k^3+10k^2+25k^2+25=k^4+10k^3+35k^2+50k+25
所以左边等于右边。从而当n=k+1时等式成立。
所以对一切的自然数等式都成立。
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