设等边三角形ABC的边长为2,M是AB上的中点,P是BC上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别是S 和T ,求 S*S -T*T =即是 S2-T2=?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/03 05:25:53
设等边三角形ABC的边长为2,M是AB上的中点,P是BC上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别是S 和T ,求 S*S -T*T =即是 S2-T2=?
设等边三角形ABC的边长为2,M是AB上的中点,P是BC上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别是S 和T ,
求 S*S -T*T =
即是 S2-T2=?
设等边三角形ABC的边长为2,M是AB上的中点,P是BC上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别是S 和T ,求 S*S -T*T =即是 S2-T2=?
答:8√3
BM=AM=1,PB=2-PC,∠A=∠B=∠C=60°,AC=AB=BC=2
PA^2=PC^2+AC^2-2PC*AC*cos60°=(2-PC)^2
PA=2-PC
PM^2=PB^2+BM^2-2PB*BM*cos60°=(2-PC)^2+1-(2-PC)=(PC^2-3PC+3
PM=√(PC^2-3PC+3)
PA+PM=2-PC+√(PC^2-3PC+3)
设PA+PM-2=M,则
M+PC=√(PC^2-3PC+3)
(M+PC)^2=PC^2-3PC+3
M^2+2M*PC+3PC-3=0
解上方程(未知数为M),得
M最大=√(PC^2-3PC+3) -PC
M最小=-√(PC^2-3PC+3)-PC
故S=2+√(PC^2-3PC+3) -PC
T=2-√(PC^2-3PC+3) -PC
S^2-T^2=(S+T)*(S-T)
=(4-2PC)*2√(PC^2-3PC+3)
=2*(4-2PC)*√[(PC-3/2)^2+3/4]
求(S^2-T^2)即求最大值
因PC≤2,所以PC=0时,(4-2PC)最大=4,√[(PC-3/2)^2+3/4]最大=√3
故(S^2-T^2)最大=8√3
4倍根号3加四分之1
等于1
最大值是P点移动到C点时,AP=AC=2,MC=MP=根号3,那么PA+PM=根号3加2
最小值是P点移动到B点时,PA=BA=2,PM=0,那么PA+PM=2
最后的结果就是4倍根号3加3