定积分求极大值极小值选择题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 17:31:44
定积分求极大值极小值选择题
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定积分求极大值极小值选择题
定积分求极大值极小值选择题




定积分求极大值极小值选择题
f(x)=∫(0,x) (t-1)e^t dt
求导,
f'(x)=(x-1)e^x
当x>1,f'(x)>0,增函数
当x=1,f'(x)=0,极小值
当x

先不定积分
分部积分法
f(x)=(t-1)e^t- 积分号e^t d(t-1)
=(t-1)e^t-e^t=(t-2)e^t
代入上下限
f(x)=(x-2)e^x+2
求导算极值
f'(x)=(x-2)e^x+e^x=(x-1)e^x=0 得x=1
所以当x=1 有极值2-e
判断极大极小，此处可以粗略画一下函数图像来判断...

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先不定积分
分部积分法
f(x)=(t-1)e^t- 积分号e^t d(t-1)
=(t-1)e^t-e^t=(t-2)e^t
代入上下限
f(x)=(x-2)e^x+2
求导算极值
f'(x)=(x-2)e^x+e^x=(x-1)e^x=0 得x=1
所以当x=1 有极值2-e
判断极大极小，此处可以粗略画一下函数图像来判断 解析法则应如下
求二阶导数
f''(x)=xe^x
x=1时 f''(x)>0 所以是极小值

收起

极值时，导数=0
所以
f对x求导
=(x-1)e^x=0
显然e^x>0
所以x=1,是驻点
再求一次导看最大最小
=e^x+(x-1)e^x=xe^x
代入1
f''(1)>0
所以x=1处是极小值
所以
代入x=1
求积分
=∫1 0 (t-1)e^t dt=2-e
所以极小值2-e

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