已知曲线C:y=ax²+bx+c,其中a>b>c,且a+b+c=0(1)试证:曲线C与x轴相交于相异两点;(2)曲线C被x轴截得的线段长为L,试证明:3/2

已知曲线C:y=ax²+bx+c,其中a>b>c,且a+b+c=0(1)试证:曲线C与x轴相交于相异两点;(2)曲线C被x轴截得的线段长为L,试证明:3/2
已知曲线C:y=ax²+bx+c,其中a>b>c,且a+b+c=0
(1)试证:曲线C与x轴相交于相异两点;
(2)曲线C被x轴截得的线段长为L,试证明:3/2

已知曲线C:y=ax²+bx+c,其中a>b>c,且a+b+c=0(1)试证:曲线C与x轴相交于相异两点;(2)曲线C被x轴截得的线段长为L,试证明:3/2

△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²

又∵a＞c,∴△＞0,即曲线C与x轴相交于相异两点

设x2＞x1,L²=（x2-x1）²=（x2+x1）²-4x1x2

根据韦达定理,x1+x2= -b/a ,x1x2=c/a

L²=b²/a² - 4c/a = (a+c)²/a²-4c/a =（c/a-1)²

∵a>b>c,且a+b+c=0,∴a＜0,c＞0,

∴L=1- c/a

∵|b|<|a|,∴ -c=|c|=|a+b|＜|2a|=2a,即c/a＞-2,∴L＜3

∵|b|<|c|,∴ a=|a|=|b+c|＜|2c|= -2c,即c/a＜-1/2,∴L＞3/2

3/2<L<3得证