初等函数 难题如题!要很难的!.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 06:55:50
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初等函数 难题
如题!要很难的!.

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5．（2000年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2,设g(x)=f(x)-x,
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002,求f(2000)的值.
本例的难度显然又有增加,主要是难以具体化.只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x,
可得g(x+2)=f(x+2)-x-2,
g(x+3)=f(x+3)-x-3,
再以f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2代换,可得
g(x+2) ≥f(x)+2-x-2=f(x)-x①
g(x+3) ≥f(x)+3-x-3=f(x)-x②
由①可得g(x+4) ≥f(x+2)-x-2
≥f(x)+2-x-2=f(x)-x,
g(x+6) ≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x.③
由②可得g(x+6) ≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x,④
由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x).
∴g(x)是周期函数获证（6是它的一个周期）
（2）2000-998=1002是6的整数倍,所以
g(2000)=g(998),即f(2000)-2000=f(998)-998
f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004.
本题的不同之处在于没有“具体化”,而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系,进而得到g(x+6)=g(x),以达到证明的目的.

1=1

证明1+1=2

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