已知P(1,1),Q(3,5)在y轴上有一点M,MP加MQ最小,求M坐标

已知P(1,1),Q(3,5)在y轴上有一点M,MP加MQ最小,求M坐标
已知P(1,1),Q(3,5)在y轴上有一点M,MP加MQ最小,求M坐标

已知P(1,1),Q(3,5)在y轴上有一点M,MP加MQ最小,求M坐标
Q关于y轴对称点是R(-3,5)
则MP+MQ=MP+MR
因为PR在y轴两侧
所以当PMR共线时最短
所以M是直线PR和y轴交点
设PR是y=kx+b
则1=k+b
5=-3k+b
k=-1,b=2
y=-x+2
x=0,y=2
所以M(0,2)

（2.0）

做p关于y轴的对称点p1，连接q与p1，与y轴交点即为所求，证明最短可以取另外任意一点，按同样方法看看距离（三角形两边只和大于第三边）

将点P对称到y轴左边P'（-1,1），连接QP'与y轴的交点即为点M
直线QP'的方程为y=x+2 令x=0,y=2 即M（0,2）
【将点Q对称到y轴左边也是一样的】

假设Q关于y轴对称点是Q'(-3,5)
那么MP+MQ=MP+MQ'
设PQ'是y=kx+b
则1=k+b
5=-3k+b
解得 k=-1 b=2
y=-x+2
所以
x=0 y=2
所以M(0,2)
解释一下PQ'在y轴两侧
只有当PMQ'共线时最短
故M是直线PQ'和y轴交点

在y轴上有一点M，那么可以假设其坐标是 M(0，a)
长度 MP=√((0-1)^2+(a-1)^2)
长度 MQ=√((0-3)^2+(a-5)^2)
MP+MQ=√((0-1)^2+(a-1)^2)+√((0-3)^2+(a-5)^2)
如果学过导数的话，可以通过求解导数方法
a=2