已知双曲线x²-y²/2=1,过点p（1,1）能否做一条直线l与双曲线交与AB两点且点P是AB线段的中点

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 18:23:59
已知双曲线x²-y²/2=1,过点p（1,1）能否做一条直线l与双曲线交与AB两点且点P是AB线段的中点
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已知双曲线x²-y²/2=1,过点p（1,1）能否做一条直线l与双曲线交与AB两点且点P是AB线段的中点
已知双曲线x²-y²/2=1,过点p（1,1）能否做一条直线l与双曲线交与AB两点且点P是AB线段的中点

已知双曲线x²-y²/2=1,过点p（1,1）能否做一条直线l与双曲线交与AB两点且点P是AB线段的中点
设过P点的直线为 y=k(x-1)+1
把直线方程代入双曲线方程中,得
x²-1/2（kx-k+1)²=1
2x²-k²x²-k²-1+2k²x-2kx+2k-2=0
(2-k²)x²+(2k²-2k)x-(k²-2k+3)=0
设A,B两点坐标是（x1,y1) (x2,y2)
那么 x1,x2是上面方程的两个根
x1+x2=(2k²-2k)/(k²-2)
如果点P是AB的中点,则
（x1+x2)/2=1
即 (2k²-2k)/（k²-2)=2
2k²-2k=2k²-4
k=2
因此所求的直线是 y=2(x-1)+1
即 y=2x-1

可设直线y=kx+b
将p（1,1）代入，则：b=1-k
直线可表示为y=kx+1-k
代入双曲线方程：
（2-k^2）x^2+2(k^2-k)x+(k-1)^2-2=0
则有：
-b/a=2
解得：k=2
故存在直线方程y=2x-1满足题意

设A（x0,y0）,B（x1,y1）
因为A,B在双曲线上｛x0²-y0²/2=1
x1²-y1²/2=1｝所以x0²-x1²=y0²/2-y1²/2所以k=2（x0+x1）/(y0+y1)
p点是中点，则x0+x1=2，y0+y1=2，所以k=2
直线：y=2x-2

自己做

楼上的都讲得很清楚，要把直线代进去，最后得出△<0，所以，直线与双曲线没有交点，是不能作出这条直线

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