抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称 (1)求p,q的值 (2)在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 17:47:28
抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称 (1)求p,q的值 (2)在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边
抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称
(1)求p,q的值
(2)在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边形PAQD恰好为平行四边形?若存在,求出点Q坐标.若不存在,请说明理由
(3)连接PA,AC.问:在直线PC上,是否存在这样的点E(不与C重合),使得以点P,A,E为顶点的三角形与△PAC相似?若相似,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由
各位有聪明脑袋的大哥们,能尽快吗,有主要思路就行!
抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称 (1)求p,q的值 (2)在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边
(1)
在抛物线y=x^2+px+q中
当x=0时,y=q. 即:C点的坐标为(0,q).
因为:OA=OC,D点与A点关于y轴对称.
所以:A点的坐标为(q,0);D点的坐标为(-q,0).
将A(q,0)代人y=x^2+px+q中得:0=q^2+pq+q
即:q(q+p+1)=0
所以:q=0,(不符合题意,舍去.)
q+p=-1———————————————①
现在求点P的坐标,即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标:
横坐标:-(p/2);纵坐标:(4q-p^2)/4.
即:点P的坐标为[-(p/2),(4q-p^2)/4]
再求直线CD的解析式: 设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点,所以有方程组
q=b, 0=-qk+b.
解得:k=1, b=q.
所以直线CD的解析式为:y=x+q.
因为点P[-(p/2),(4q-p^2)/4]在直线CD上,
所以 4q-p^2)/4=-(p/2)+q
解得: q=0(不符合题意,舍去)
q=2————————————————②
又已经求得的①、②两等式得:p=2,q=-3.
因此;p、q的值分别为 2和-3.
(2)
因为:p=2,q=-3.
所以:抛物线y=x2+px+q的解析式为y=x^2+2x-3,A、D、C、P四点的坐标分别为(-3,0)、(3,0)、(0,-3)、(-1,-4).
在第一问中已经求得直线CD的方程式为y=x+q,因此将q=-3代人得:
y=x-3(这是直线CD的解析式)
设:过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为:
y=x+b(因两直线平行,所以一次项系数相等)
因为点A(-3,0)在直线AQ上,将其代人y=x+b中得:0=-3+b,解得:b=3
所以:直线AQ的方程为:y=x+3
下面求直线AQ(y=x+3)与抛物线y=x^2+2x-3的交点Q的坐标:
解方程组y=x^2+2x-3,y=x+3.得x1=2,y=5;x2=-3,y2=0.
即:两交点为A(-3,0);Q(2,5).
下面再求A、Q两点距离和PD两点距离:从图形可知
|AQ|=√[5^2+(2+3)^2]=5√2
|PD|=√(4^2+4^2)=4√2
所以|AQ|≠|PD|
这说明AQ与PD不相等,所以在抛物线y=x2+px+q上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点.
(3)
存在E点,且E点坐标为(9,6).
具体求解过程如下:
设E点是直线PC上的点,且满足AE垂直AP
求直线AP的方程,设直线AP的方程为y=kx+b
因为A(-3,0),P(-1,-4)两点在直线AP上,所以有方程组
0=-3k+b,-4=-k+b.解得:k=-2,b=-6.
所以直线AP的方程式为:y=-2x-6
因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1
所以,设直线AE方程式为y=(1/2)x+b
A(-3,0)点在直线AE上,所以有0=(1/2)*(-3)+b 即b=3/2
所以直线AE的方程式为y=(1/2)x+3/2
直线AE与直线CD相交于E点,解两直线方程组成的方程组:
y=(1/2)x+3/2,y=x-3.解得:x=9,y=6.
即E点的坐标为(9,6).
在三角形ACD中,因为OA=OD=OC,AD垂直CO
所以角ACD是直角,
在直角三角形APE中,AC是斜边PE上的高
所以△APC∽△EPA