在数列{an}中,已知an=(n+1)*(10/11)^n,利用课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求数列{an}的Sn?即用错位相减法

在数列{an}中,已知an=(n+1)*(10/11)^n,利用课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求数列{an}的Sn?即用错位相减法
在数列{an}中,已知an=(n+1)*(10/11)^n,利用课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求数列{an}的Sn?
即用错位相减法

在数列{an}中,已知an=(n+1)*(10/11)^n,利用课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求数列{an}的Sn?即用错位相减法
∵a(n)＝（n＋1）（10/11）^n＝n（10/11）^n＋（10/11）^n.
∴依次令上式中的n＝1、2、3、4、······、n,依次得：
a(1)＝1×（10/11）＋（10/11）,
a(2)＝2×（10/11）^2＋（10/11）^2,
a(3)＝3×（10/11）^3＋（10/11）^3,
a(4)＝4×（10/11）^4＋（10/11）^4,
······,
a(n)＝n（10/11）^n＋（10/11）^n.
将上述n个等式的左右分别相加,得：
a(1)＋a(2)＋a(3)＋a(4)＋······＋a(n)
＝［1×（10/11）＋2×（10/11）^2＋3×（10/11）^3＋4×（10/11）^4＋······＋n（10/11）^n］
　＋［（10/11）＋（10/11）^2＋（10/11）^3＋（10/11）^4＋······＋（10/11）^n］.
令S＝1×（10/11）＋2×（10/11）^2＋3×（10/11）^3＋4×（10/11）^4＋······＋n（10/11）^n,
∴（10/11）S
＝［1×（10/11）^2＋2×（10/11）^3＋3×（10/11）^4＋······＋（n－1）（10/11）^n］
　＋n（10/11）^（n＋1）,
∴S－（10/11）S
＝［（10/11）＋（10/11）^2＋（10/11）^3＋（10/11）^4＋······＋（10/11）^n］
　－n（10/11）^（n＋1）.
∴S
＝11×［（10/11）＋（10/11）^2＋（10/11）^3＋（10/11）^4＋······＋（10/11）^n］
　－11n（10/11）^（n＋1）.
∴a(1)＋a(2)＋a(3)＋a(4)＋······＋a(n)
＝12×［（10/11）＋（10/11）^2＋（10/11）^3＋（10/11）^4＋······＋（10/11）^n］
　－11n（10/11）^（n＋1）.
＝12×（10/11）［1－（10/11）^n］/（1－10/11）－11n（10/11）^（n＋1）
＝12［1－（10/11）^n］－11n（10/11）^（n＋1）
＝12－12×（10/11）^n－10×（10/11）^n
＝12－22×（10/11）^n.