作业帮已知定义实数集R上的奇函数f(x),恒有f(x+2)=f(x),且当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)1,求函数f(x)在[-1,1]上的解析式2,判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明3,当t取何值时,方程f(x)=t在[-1,1]上有实数解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 18:45:04
![已知定义实数集R上的奇函数f(x),恒有f(x+2)=f(x),且当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)1,求函数f(x)在[-1,1]上的解析式2,判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明3,当t取何值时,方程f(x)=t在[-1,1]上有实数解](/uploads/image/z/2428677-45-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%AE%9E%E6%95%B0%E9%9B%86R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%2C%E6%81%92%E6%9C%89f%28x%2B2%29%3Df%28x%29%2C%E4%B8%94%E5%BD%93x%E5%B1%9E%E4%BA%8E%280%2C1%29%E6%97%B6%2Cf%28x%29%3D2%5Ex%2F%284%5Ex%2B1%291%2C%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%5B-1%2C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F2%2C%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%280%2C1%29%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%2C%E5%B9%B6%E5%8A%A0%E4%BB%A5%E8%AF%81%E6%98%8E3%2C%E5%BD%93t%E5%8F%96%E4%BD%95%E5%80%BC%E6%97%B6%2C%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%28x%29%3Dt%E5%9C%A8%5B-1%2C1%5D%E4%B8%8A%E6%9C%89%E5%AE%9E%E6%95%B0%E8%A7%A3)
已知定义实数集R上的奇函数f(x),恒有f(x+2)=f(x),且当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)1,求函数f(x)在[-1,1]上的解析式2,判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明3,当t取何值时,方程f(x)=t在[-1,1]上有实数解
已知定义实数集R上的奇函数f(x),恒有f(x+2)=f(x),且当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)
1,求函数f(x)在[-1,1]上的解析式
2,判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明
3,当t取何值时,方程f(x)=t在[-1,1]上有实数解
已知定义实数集R上的奇函数f(x),恒有f(x+2)=f(x),且当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)1,求函数f(x)在[-1,1]上的解析式2,判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明3,当t取何值时,方程f(x)=t在[-1,1]上有实数解
(1)
∵f(x)是在R上的奇函数
∴f(0)=0
∵f(x+2)=f(x)
∵f(1)=f(2-1)=f(-1)=-f(1)
∴f(1)=-f(1)
∴f(1)=0
设x∈(-1,0),则-x∈(0,1)
∴f(-x)=2^(-x)/[4^(-x)+1]
=2^x/(4^x+1)
∵f(x)是在R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=-2^x/(4^x+1)
综上所述,
{-2^x/(4^x+1),x∈(-1,0)
f(x)={0 ,x∈{-1,0,1}
{2^x/(4^x+1) ,x∈(0,1)
(2)
设0＜x1＜x2＜1
f(x1)-f(x2)={(2^x1-2^x2)+[2^(x1+2x2)-2^(x2+2x1)]/[(4^x1+1)(4^x2+1)]
={(2^x1-2^x2)[1-2^(x1+x1)]}/[(4^x1+1)(4^x2+1)]
＞0
∴f(x)在(0,1)上为减函数
(3)
∵f(x)在(0,1)上是减函数
∴2^1/(4^1+1)＜f(x)＜2^0/(4^0+1)
即:f(x)∈(2/5,1/2)
同理,f(x)在(-1,0)时
f(x)∈(-1/2,-2/5)
又f(-1)=f(0)=f(1)=0
∴当t∈(-1/2,-2/5)∪(2/5,1/2)或t=0时
f(x)=t在[-1,1]上有实数解