作业帮证明根号2为无理数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 12:31:53
证明根号2为无理数.
证明根号2为无理数.
证明根号2为无理数.
证明：假设√2不是无理数,而是有理数.
既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式.
把 √2=p/q 两边平方
得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数,p 必定为偶数,设p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也为偶数,设q=2n
既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是最简分数矛盾.这个矛盾是由假设√2是有理数引起的.因此√2是无理数.
根号2为 x^2=2的一个根.
如果x是有理数, 则可以设x=a/b, a,b为某两个正整数, a,b的最大公因子等於1. 于是
(a/b)^2 = 2
a^2 = 2b^2
由此知a^2为偶数, 故a为偶数. 令a=2k, 则
(2k)^2=2b^2
2k^2 = b^2
由此知b^2为偶数, 故b为偶数
得出a,b的最大公因子 >...
全部展开
根号2为 x^2=2的一个根.
如果x是有理数, 则可以设x=a/b, a,b为某两个正整数, a,b的最大公因子等於1. 于是
(a/b)^2 = 2
a^2 = 2b^2
由此知a^2为偶数, 故a为偶数. 令a=2k, 则
(2k)^2=2b^2
2k^2 = b^2
由此知b^2为偶数, 故b为偶数
得出a,b的最大公因子 >= 2, 矛盾.
所以假设不成立, 即x不是有理数.
收起
证明：设 √2=P/Q (P,Q)=1（即：若√2为有理数，那么它必可以表示为最简分数P/Q 的形式，P、Q 互质），那么
P^2 = 2Q^2，P^2可被2整除，即 2│P^2；
显然 P 是偶数，即 2│P（如果 P 是奇数，P^2 必为奇数，与 2│P^2 矛盾)；
因为 2│P，所以 4│P^2（即 P^2 能被 4 整除)；
因 4│P^2，不妨设...
全部展开
证明：设 √2=P/Q (P,Q)=1（即：若√2为有理数，那么它必可以表示为最简分数P/Q 的形式，P、Q 互质），那么
P^2 = 2Q^2，P^2可被2整除，即 2│P^2；
显然 P 是偶数，即 2│P（如果 P 是奇数，P^2 必为奇数，与 2│P^2 矛盾)；
因为 2│P，所以 4│P^2（即 P^2 能被 4 整除)；
因 4│P^2，不妨设 P^2 = 4N, 则由 2=P^2/Q^2 可得 2 = 4N /Q^2；
故 Q^2=2N，即 2│Q^2，所以 2│Q，即 Q 必为偶数，
综上知，P、Q 均为偶数，这与(P,Q)=1矛盾！
所以 “√2=P/Q， (P,Q)=1”是不可能成立的，故√2为无理数。
收起
假设它是有理数，然后证明其不可能就行了。