作业帮定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且x属于（0,1）时f(x)=2^x/(4^x+1)(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式；（2）判断f(x)在（0,1）上的单调性,并给予证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 23:53:22
![定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且x属于（0,1）时f(x)=2^x/(4^x+1)(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式；（2）判断f(x)在（0,1）上的单调性,并给予证明.](/uploads/image/z/2554917-69-7.jpg?t=%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%9C%89%E6%9C%80%E5%B0%8F%E6%AD%A3%E5%91%A8%E6%9C%9F2%2C%E4%B8%94x%E5%B1%9E%E4%BA%8E%EF%BC%880%2C1%EF%BC%89%E6%97%B6f%28x%29%3D2%5Ex%2F%284%5Ex%2B1%29%281%29%E6%B1%82f%28x%29%E5%9C%A8%5B-1%2C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%88%A4%E6%96%ADf%28x%29%E5%9C%A8%EF%BC%880%2C1%EF%BC%89%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%2C%E5%B9%B6%E7%BB%99%E4%BA%88%E8%AF%81%E6%98%8E.)
定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且x属于（0,1）时f(x)=2^x/(4^x+1)(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式；（2）判断f(x)在（0,1）上的单调性,并给予证明.
定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且x属于（0,1）时f(x)=2^x/(4^x+1)
(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式；（2）判断f(x)在（0,1）上的单调性,并给予证明.
定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且x属于（0,1）时f(x)=2^x/(4^x+1)(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式；（2）判断f(x)在（0,1）上的单调性,并给予证明.
令x∈(-1,0)则 -x∈（0,1）,所以 f(-x) = 2^-x/(4^-x+1) = 2^x/(4^x+1)
f(x)为奇函数,所以f(-x) = 2^-x/(4^-x+1) = 2^x/(4^x+1) = -f(x)
f(x) = -2^x/(4^x+1)
x=0时,由于奇函数,所以f(0) = 0
x = 1和x=-1时,由于周期为2所以f(1) = f(-1)另外还是奇函数,所以f(-1) = -f(1) = f(1)
因此f(1) = f(-1) = 0
f(x)在[-1,1]上的解析式就是
-2^x/(4^x+1) x∈(-1,0)
f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈(0,1)
0 x = -1,0,1
(2)单调性f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈（0,1）令 t = 2^x 则t∈(1,2),且t的对x单调递增
原式化为 f(t) = t/(t^2+1)
学过导数的话可以直接求导了,f'(t) = (t^2+1-2t^2)/(t^2+1)^2 = (1-t^2)/(t^2+1)^2< 0
所以在（0,1）上单调递减
如果没有学过导数,则选t'>t f(t') - f(t) = t'/(t'^2+1) - t/(t^2+1) = ( tt'-1)(t-t')/(t^2+1)(t^2+1)