高数数学题 ! 求极限： 若lim f（x）存在,且f（x）=sinx/x-π +2limf（x）, 则limf（x）=?（x→π

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 22:42:24
高数数学题 ! 求极限： 若lim f（x）存在,且f（x）=sinx/x-π +2limf（x）, 则limf（x）=?（x→π
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高数数学题 ! 求极限： 若lim f（x）存在,且f（x）=sinx/x-π +2limf（x）, 则limf（x）=?（x→π
高数数学题 ! 求极限： 若lim f（x）存在,且f（x）=sinx/x-π +2limf（x）, 则limf（x）=?（x→π

高数数学题 ! 求极限： 若lim f（x）存在,且f（x）=sinx/x-π +2limf（x）, 则limf（x）=?（x→π
因为lim f（x）存在,则limf(x)是数值,没有未知数x
则limx->π f(x)
=limx->π [sinx/x-π +2limx->πf(x)]
=limx->π [sinx/(x-π)]+2limx->πf(x)
因为当x->π时 分子sinx->0,分母x-π->0,所以应用洛必塔法则,即对分子分母分别求导
原式=limx->π[cosx/1]+2limx->πf(x)
=-1+2limx->πf(x)
即limx->π f(x)=-1+2limx->πf(x)
所以limx->πf(x)=1

x→π 时，lim f（π）=sinπ/π-π+2limf（π），解出来lim f（x）=π

设lim f（x）=a(x->π ),则f（x）=sinx/x-π +2a,所以a=limsinx/（x-π）(x->π ) +2a
所以a=-limsinx/（x-π）(x->π ) =limsin（x-π）/（x-π）(x->π )
=lim{4sin[（x-π）/2]coc[(x-π）/2]/[（x-π）/2](x->π )
=4

因为f（x）=sinx/x-π +2limf（x）
所以x→π lim f(x)=lim [sinx/x-π+2lim f(x)]=lim sinx/x-π+2limlimf(x)=-1+2limf(x)
所以lim f(x)=1

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