7个不同的球,放入4个不同的盒子里,每个盒子里至少放一个,有几种不同的放法?要一个不漏

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 18:14:13
7个不同的球,放入4个不同的盒子里,每个盒子里至少放一个,有几种不同的放法?要一个不漏
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7个不同的球,放入4个不同的盒子里,每个盒子里至少放一个,有几种不同的放法?要一个不漏
7个不同的球,放入4个不同的盒子里,每个盒子里至少放一个,有几种不同的放法?
要一个不漏

7个不同的球,放入4个不同的盒子里,每个盒子里至少放一个,有几种不同的放法?要一个不漏
首先研究把7分成4个自然数之和的形式,容易得到以下三种情况：
①7=1+1+1+4
②7=1+2+2+2
③7=1+1+2+3
其次,将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球,而其余盒子里各放1个球,由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一,有4种放法,而其他盒子只放一个球,而球是相同的,任意调换都是相同的放法,所以第一类只有4种放法.
第二类：有一个盒子里放1个球,有4种放法,其余盒子里都放2个球,与第一类相同,任意调换都是相同的放法,所以第二类也只有4种放法.
第三类：有两个盒子里各放一个球,另外两个盒子里分别放2个及3个球,这时分两步来考虑：第一步,从4个盒子中任取两个各放一个球,这种取法有C24种.
第二步,把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球,这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.
∴由加法原理,可得符合题目要求的不同放法有
4+4+12=20（种）
答：共有20种不同的放法.
本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底,使盒不空,剩下3个球,放入4个有区别盒的放置方式数.

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