四个幂级数求和1/[(n^2-1)2^n],(-1)^n/(3n+1),(n+1)^2/n!,(-1)^n(n^2-n+1)/2^n,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 09:29:30
四个幂级数求和1/[(n^2-1)2^n],(-1)^n/(3n+1),(n+1)^2/n!,(-1)^n(n^2-n+1)/2^n,
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四个幂级数求和1/[(n^2-1)2^n],(-1)^n/(3n+1),(n+1)^2/n!,(-1)^n(n^2-n+1)/2^n,
四个幂级数求和1/[(n^2-1)2^n],(-1)^n/(3n+1),(n+1)^2/n!,(-1)^n(n^2-n+1)/2^n,

四个幂级数求和1/[(n^2-1)2^n],(-1)^n/(3n+1),(n+1)^2/n!,(-1)^n(n^2-n+1)/2^n,
只能大致写一下思路,具体计算你自己算吧.
1、f(x)=求和（n＝3到无穷）x^n/n,f'(x)=求和(n=3到无穷)x^(n－1)=x^2/(1－x),因此f(x)=－0.5x^2－x－ln(1－x),f(1/2)=ln2－5/8.
第一个级数利用1/(n^2－1)=【1/(n－1)－1/(n+1)】/2,然后打开,相加的项前面两项单独计算,后面的和恰好是0.25×f(1/2),而减法的项的和为f(1/2),于是可知其和为
1/8+1/32+f(1/2)/4－f(1/2)＝5/8－(3ln2)/4.
2、f(x)＝求和(n=0到无穷)(－1)^nx^(3n+1)/(3n+1),f'(x)=1/(1+x^3),因此f(1)=积分（从0到1）1/(1+x^3)dx＝【ln2+pi/根号(3)】/3.
3、分解为n^2/n!+2n/n!+1/n!=(n－1+1)/(n－1)!+2/(n－1)!+1/n!＝1/(n－2)!+3/(n－1)!+1/n!,三者的和都是e,因此总和是5e.
4、写为(－1)^nn(n－1)/2^n+(－1)^n/2^n,后者和易算,前者考虑f(x)=求和（n＝2到无穷）(－1)^nn(n－1)x^(n－2),于是可计算F(x)=积分（从0到x）f(t)dt,
G(x)=积分（从0到x）F(t)dt=x^2/(1+x),故F(x)=G'(x)=(2x+x^2)/(1+x)^2,
f(x)=F'(x)=2/(1+x)^3,于是级数前一部分和为f(1/2)/4.

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