用向量法证明：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 08:07:13
用向量法证明：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
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用向量法证明：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
用向量法证明：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

用向量法证明：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
在平面直角坐标系xoy内作单位圆O,
以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O
的交点分别为A,B.
则OA®＝（cosα,sinα）,OB®＝（cosβ,sinβ）.
由向量数量积的坐标表示,
有OA®·OB®＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
因α、β是任意角,α－β也是任意角,但总可找到一个角∈〔（0,2π）〕,使cosθ＝cos（α－β）.
由向量数量积的概念,有OA®·OB®＝｜OA®｜·｜OB®｜cos（α－β）＝cos（α－β）.
若θ∈〔0,π〕,则OA®·OB®＝cosθ＝cos（α－β）；
若θ∈〔（π,2π）〕,则2π－θ∈〔（0,π）〕,
且OA®·OB®＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）.
于是,对于任意角α,β都有 cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ ┉ （1）

证明 ：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox为始边作角α、β，它们的终边分别与单位圆交于点P、Q，则P（cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),｜OP｜＝｜OQ｜＝1
则α-β=±〈OP,OQ〉+2kπ
因为OP＊ OQ=（cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosacosb+sinasinb
OP＊ OQ=｜OP｜＊｜OQ｜cos〈OP＊OQ〉=cos...

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证明 ：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox为始边作角α、β，它们的终边分别与单位圆交于点P、Q，则P（cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),｜OP｜＝｜OQ｜＝1
则α-β=±〈OP,OQ〉+2kπ
因为OP＊ OQ=（cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosacosb+sinasinb
OP＊ OQ=｜OP｜＊｜OQ｜cos〈OP＊OQ〉=cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
所以cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

收起

http://www.pep.com.cn/gzsx/jszx/xkbsyjc/dzkb/bx4/200412/t20041208_140090.htm

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