作业帮3X平方+2X+2除以X的平方+x+1大于等于M对任意实数X都成立,求自然数M的值.谁会帮帮
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 23:28:28
3X平方+2X+2除以X的平方+x+1大于等于M对任意实数X都成立,求自然数M的值.谁会帮帮
3X平方+2X+2除以X的平方+x+1大于等于M对任意实数X都成立,求自然数M的值.谁会帮帮
3X平方+2X+2除以X的平方+x+1大于等于M对任意实数X都成立,求自然数M的值.谁会帮帮
∵x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4＞0
则3x^2+2x+2≥M(x^2+x+1)
即(3-M)x^2+(2-M)x+(2-M)≥0,
∵对任意M恒成立,
∴3-M＞0,且△=(2-M)^2-4(3-M)(2-M)≤0
解之M＜3,且3M^2-16M+20≥0
得,M＜3,且M≥10/3,或M≤2
∴M≤2
自然数M的值为0,1,2.
可以先移项，把式子转化成关于X的一元2次方程，然后讨论下开口方向和判别式。最后是算出M<=2.所以M=0,1,2
(3x^2+2x+2)/(x^2+x+1)≥M → x^2/(x^2+x+1)+2≥M →x^2/(x^2+x+1)≥M-2
由于x为实数，则x^2+x+1>0时，显然M-2≥0
x^2/(x^2+x+1)≥M-2 →x^2≥(x^2+x+1)*(M-2)
→(M-3)x^2+（M-2)x+(M-2)≤0
欲使上式成立，显然需要函数开口向下，即M-...
全部展开
(3x^2+2x+2)/(x^2+x+1)≥M → x^2/(x^2+x+1)+2≥M →x^2/(x^2+x+1)≥M-2
由于x为实数，则x^2+x+1>0时，显然M-2≥0
x^2/(x^2+x+1)≥M-2 →x^2≥(x^2+x+1)*(M-2)
→(M-3)x^2+（M-2)x+(M-2)≤0
欲使上式成立，显然需要函数开口向下，即M-3<0
x^2+（M-2)/(M-3) x+(M-2)/(M-3)≥0
[x+1/2 *（M-2)/（M-3)]^2-1/4 *[(M-2)/（M-3)]^2+(M-2)/(M-3)≥0
[x+1/2 *（M-2)/（M-3)]^2-[1/2 (M-2)/（M-3)-1]^2+1≥0
此时函数曲线的顶点即为-[1/2 (M-2)/（M-3)-1]^2+1，要使此函数总成立，顶点纵坐标必须恒大于0 -[1/2 (M-2)/（M-3)-1]^2+1≥0
[1/2 (M-2)/（M-3)-1]^2≤1
| 1/2 (M-2)/（M-3)-1 | ≤1 ------------A结论
由于 M-2≥0 M-3<0 2≤M<3 (M-2)/（M-3)必为非正数
∴ 1/2 (M-2)/（M-3)-1 ≤ -1
→| 1/2 (M-2)/（M-3)-1 | ≥ 1 结合A结论
→| 1/2 (M-2)/（M-3)-1 | =1
→ M=2 （M≠3！，因为M-3<0）
M 只能是 2
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