什么是最小二乘法

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 23:01:42
什么是最小二乘法
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什么是最小二乘法
什么是最小二乘法

什么是最小二乘法
【最小二乘法】 这是一个早年的翻译名词.二乘,就是现代常说的二次方.
是统计学中使用的一个数学名称,是利用已知的统计量,寻求合乎统计学规律的一种数学方法.它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配.
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小.
最小二乘法还可用于曲线的拟合.
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达.
具体方法：假定实验测得变量之间的n个数据(x1,y1)、(x2,y2).(xn,yn),则在xoy平面上,可以得到n个点Pi(xi,yi)（i=1,2,...,n）,这种图形称为“散点图”,从图中可以看出这些点大致散落在某直线近旁,我们认为x和y近似为一线性函数.
考虑函数y=ax+b,其中a,b为待定常数.如果Pi(xi,yi)（i=1,2,...,n）在一条直线上,则可以认为变量之间的关系为y=ax+b.但一般说来,这些点不可能在同一直线上.记为Ei=yi-(axi+b),它反映了用直线y=ax+b来描述x=xi,y=yi时,计算值y与实际值yi的偏差.当然,要求偏差越小越好,但由于Ei可正可负,所以不能认为当∑Ei=0时,函数y=ax+b就好好地反应了变量之间的关系,因为可能每个偏差的绝对值都很大.为了改进这个缺陷,就考虑用∑|Ei|.但绝对值不易做解析运算,因此,进一步用∑Ei2 来度量总偏差.因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大.于是问题归结为确定y=ax+b中的常数a和b,使 F(a,b)=∑Ei2 = ∑(yi-axi-b)2 为最小.这种确定系数a,b的方法称为最小二乘法.

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