作业帮已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们之间的夹角为120度,若|ka+b+c|=1 求k的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 07:09:14
已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们之间的夹角为120度,若|ka+b+c|=1 求k的取值范围
已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们之间的夹角为120度,若|ka+b+c|=1 求k的取值范围
已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们之间的夹角为120度,若|ka+b+c|=1 求k的取值范围
两种解法：
（1）代数法：将等式两边平方可得：（向量a用a表示,b/c亦如此）
|ka|^2+|b|^2+|c|^2+ 2(ka.b+b.c+kc.a) =1,因为向量a,b,c均为单位向量,因此其模为1；
又 其两两夹角为120°,故a·b=b·c=c·a=1·1·cos=-1/2,
因此得 k^2+1+1-2k-1=1,即k^2-2k=0,因此k=0或2.
（2）几何法：将三个单位向量在纸上画出来,可以发现其实三个向量将圆周平分（起点相同,设为o）,要使得|ka+b+c|=1,即是 ka+b+c的长度的绝对值为1即可,因此可画一个以0为圆心,1为半径的原,只要三个向量相加的向量终点位于圆上即可.而b+c我们可以做出来,它的长度
正好是与向量a长度相同、方向相反的一个单位向量,因此可以看出：要么k=0,其结果即为向
量a,其长度（模）为1；要么为-a,其模亦为1.
完毕.
(1)∵（a-b)·c=a·c-b·c=|a|·|c|cos120度-|b|·|c|cos120=0
∴（a-b)⊥c;
2)|ka+b+c|>1
∴|ka+b+c|^2>1
<==>
k^2·a^2+b^2+c^2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1
<==>
k^2+2k|a|·|b|cos120+2k|a|·|c|cos120+2|b|·|c|cos120+2>1
<==>k^2-2k>0
<==>k<0或k>2
|ka+b+c|=1
(ka+b+c).(ka+b+c)=1
k^2|a|^2+|b|^2+|c|^2+ 2(ka.b+b.c+kc.a) =1
k^2+1+1-(k+1+k)=1
k^2-2k+1=0
(k-1)^2=0
k=1
2)|ka+b+c|>1
∴|ka+b+c|^2>1
<==> k^2·a^2+b^2+c^2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1
<==> k^2+2k|a|·|b|cos120+2k|a|·|c|cos120+2|b|·|c|cos120+2>1
<==>k^2-2k>0
<==>k<0或k>2