作业帮在三角形ABC中,a+b=10,cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,则ABC的周长最小值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 20:24:52
在三角形ABC中,a+b=10,cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,则ABC的周长最小值为?
在三角形ABC中,a+b=10,cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,则ABC的周长最小值为?
在三角形ABC中,a+b=10,cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,则ABC的周长最小值为?
2x^2-3x-2=0,
(2X+1)(X-2)=0,
X1=-1/2,X2=2,
则cosC=-1/2,
C=120度,
cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2.
(a+b)^2-c^2=ab,
(a+b+c)(a+b-c)=ab,
令,Y=a+b+c,有
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
要使Y最小,c就必须最小,则a,b就必须有最大值.
a+b≥2√ab,(a>0,b>0,)当且仅当a=b时,ab有最大值,即a+b=10=2a,a=5.
cosC=cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
c^2=2*5^2-2*5*5*(-1/2)=25*3,
c=5√3.
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
=25/(10-5√3)=10+5√3.
三角形ABC周长的最小值为:10+5√3.
由方程解得cosC=-1/2或cosC=2(舍）
c^2=a^2+b^2-2abcosC
c^2=(a+b)^2-2ab+ab
c^2=100-ab
ab小于等于(a^2+b^2)/2
ab小于等于50
所以C最小值5根号2
所以周长最小为10+5根号2
解方程式得cosC=-1/2，所以C=120
2x²-3x-2=0的一个根为2或-1/2，所以cosC=-1/2
根据余弦定理c方=a方+b方-2abcosC=(a+b)方-2ab+ab=100-ab
ab小于等于（a+b）方/4=25
所以c方大于等于75
c大于等于5倍根号3
所以周长最小值为10+5倍根号3