已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 19:35:13
已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值
xUKO@++UBv1Д8^RA\*!UoiKPHڔGQ(i 4qÉЙ];ǍkIvfy}3I3$"{/InfM4箧Emj6mA h$&_qSă#)^F7αzIOcrBkh;l$4$x5| j|Jhy !G^$@a"(p-2 o'Lx _C$@6q (n'b+%.q?,P!\uw`;tDBKXOKs0Lo?O36ЭVaj7UW3,{lok>"_ xE 7cqЀ?V~Y\zhaF+Nػ9뽑-e%@s]p^ hoO[w7$^M'/P1739~S "ZF?

已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值
已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值

已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值
xy=4
(4x)(9y)=144
由均值不等式得
(4x+9y)²≥4(4x)(9y)
(4x+9y)²≥4×144
(4x+9y)²≥576
x>0 y>0 4x+9y>0
4x+9y≥24
此时,4x=9y x=9y/4
xy=4
(9y/4)y=4
y²=16/9
y=4/3
x=4/y=4/(4/3)=3
提示：先利用已知条件将xy=4化为(4x)×(9y)的形式,这样就可以将4x看做a,9y看做b,直接利用均值不等式了.

当A,B,x,y∈R+， Ax + By ≥2√(ABxy)，当且仅当Ax = By 时等式成立
所以 4x+9y的最小值为：
4x + 9y ≥ 2√(4*9xy) = 6√(xy) ＝ 24
此时 4x = 9y 并且xy = 4
解得 x = 3 y = 4/3 (已经舍去负值)

再给你另外一个题目：
已知：...

全部展开

当A,B,x,y∈R+， Ax + By ≥2√(ABxy)，当且仅当Ax = By 时等式成立
所以 4x+9y的最小值为：
4x + 9y ≥ 2√(4*9xy) = 6√(xy) ＝ 24
此时 4x = 9y 并且xy = 4
解得 x = 3 y = 4/3 (已经舍去负值)

再给你另外一个题目：
已知：x > 0，y > 0，4x + 9y = 1，求1/x + 1/y的最小值.
解: 因为 4x + 9y = 1
所以 1/x + 1/y ＝(4x + 9y)/x + (4x + 9y)/y = 13 + 9y/x +4x/y
因为 x > 0，y > 0
所以 9y/x + 4x/y ≥2√[(9y/x) · (4x/y)] = 12(当且仅当 (9y/x) = (4x/y) ，
即 x = 1/10 且 y = 1/15 时取等号)．
所以 1/x + 1/y = 13 + 9y/x +4x/y ≥ 13 + 12=25，
即(1/x + 1/y)的最小值为25

本题的一种典型误解是：
1 = 4x + 9y≥2√(36xy) = 12√(xy)
即 1 / √(xy)≥12
所以 (1/x + 1/y) ≥ 2√[1/(xy)] ≥ 24．
其错误原因在于两次使用均值定理,其等号成立条件 4x = 9y 与 x = y 是相互矛盾的

收起

  • d `12d

已知x,y∈R*,x+y=xy,求u=x+2y最小值 已知x,y∈R+,xy=4,求4x+9y的最小值及相应的x,y值 已知x,y∈R+,xy-(x+y)=3,求x+y及xy的最小值 已知x,y∈R+,且x+4y=1,则xy的最大值为? 已知x,y∈R,且x/3+y/4=1,则xy最大值 已知x、y∈R+,,且X+4Y=1 ,则XY 的最大值为 已知x,y∈R+,满足x+2y=2xy,那么x+4y的最小值是 已知x,y∈R+,xy=1,求x+y的最小值 已知x*x-4xy+4y*y=0 求[2x(x+y)-y(x+y)]/(4x*x-4xy+y*y)的值? 已知X,Y∈R+,且X+Y=1,求证：XY+1/XY≥17/4 已知X,Y∈R+,且X+Y=1,求证：XY+1/XY≥17/4hgfhg 已知X+Y=3,XY=-1,求2(X-Y)^4-9(X-Y)^2+12XY x,y∈R,x∧2+y∧2=4,求xy/(x+y-2)的最小值 x,y 属于R正,且9x+y=xy,求x+4y的最小值 已知X、Y属于R+,且XY-(X+Y)=1,求XY的范围 已知X,Y∈正R,且2X+ 8Y-XY=0,求X+Y的最小值. 已知x,y∈R,x－2xy+2y=2,求x+y的取值范围 已知x/y=2,求2x(x+y)-y(x+y)/4x²-4xy+y²