作业帮在△ABC中,∠C=90°,a,b,c 分别为三角形三边,a-b=2 ,b:c=3:5,且方程x^2-2(k+1)x+k^2-12=0两实根的平方和是三角形ABC斜边的平方,求k的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 08:00:21
在△ABC中,∠C=90°,a,b,c 分别为三角形三边,a-b=2 ,b:c=3:5,且方程x^2-2(k+1)x+k^2-12=0两实根的平方和是三角形ABC斜边的平方,求k的值.
在△ABC中,∠C=90°,a,b,c 分别为三角形三边,a-b=2 ,b:c=3:5,且方程x^2-2(k+1)x+k^2-12=0两实根的平方和是三角形ABC斜边的平方,求k的值.
在△ABC中,∠C=90°,a,b,c 分别为三角形三边,a-b=2 ,b:c=3:5,且方程x^2-2(k+1)x+k^2-12=0两实根的平方和是三角形ABC斜边的平方,求k的值.
b:c=3:5
a²+b² = c²
===> a/b = 4/3
a-b=2
解得 a = 8 b=6
∴c=10
设方程两根为m,n
由韦达定理(根与系数的关系)
mn = k² + 12 【题目应该是 k² + 12】
m+n = 2(k+1)
由题意
c² = m²+n²
= (m+n)² - 2mn
= 4(k+1)² - 2(k² + 12)
= 2k² + 8k - 20
= 100
解得 k = -10 或 k=6
Δ = 4(k+1)² - 4(k² +12) = 8k - 44
k = -10 时,Δ
a-b=2
5b=3c
a*a+b*b=c*c
9*(2+b)*(2+b)+9b*b=(5b)*(5b)
(7b+6)(b-6)=0
b=6
a=8
c=10
x*x+2(k+1)*x+(k*k-12)=0
a1+a2 = -2(k+1)
a1*a2 = k*k-12
c*c=a1*a1+a2*a2=(a1+a2)*(a1+a2)-2a1*a2=4(k+1)*(k+1)-2(k*k-12)=2k*k+8k+28
100=2k*k+8k+28
k*k+4k-36=0
k=-2+-sqrt(40)
无整数解？
k = -10 或 k=6
Δ = 4(k+1)² - 4(k² +12) = 8k - 44
k = -10 时，Δ<0 ，舍去
∴ k = 6