作业帮一椭圆中心为原点 且以坐标轴为对称轴 O为原点 并且与直线X+Y=1交于A,B两点 C是线段AB的中点 AB的长为2√2 OC的斜率为2分之√2 求该椭圆的方程请把过程写清楚
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 14:01:25
一椭圆中心为原点 且以坐标轴为对称轴 O为原点 并且与直线X+Y=1交于A,B两点 C是线段AB的中点 AB的长为2√2 OC的斜率为2分之√2 求该椭圆的方程请把过程写清楚
一椭圆中心为原点 且以坐标轴为对称轴 O为原点 并且与直线X+Y=1交于A,B两点 C是线段AB的中点 AB的长为2√2 OC的斜率为2分之√2 求该椭圆的方程
请把过程写清楚
一椭圆中心为原点 且以坐标轴为对称轴 O为原点 并且与直线X+Y=1交于A,B两点 C是线段AB的中点 AB的长为2√2 OC的斜率为2分之√2 求该椭圆的方程请把过程写清楚
设椭圆方程为 x²/m+y²/n=1 (m＞0,n＞0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0),
则 x1²/m+y1²/n=1……………………①
x2²/m+y2²/n=1……………………②
①-②得 ﹙x1+x2﹚﹙x1-x2﹚/m+ ﹙y1+y2﹚﹙y1-y2﹚/n=0
即 ﹙x1+x2﹚/m+ ﹙y1+y2﹚/n· ﹙y1-y2﹚/﹙x1-x2﹚=0…………………③
其中 x1+x2=2x0 ; y1+y2=2y0 ; ﹙y1-y2﹚/﹙x1-x2﹚= -1(即直线AB的斜率)
代入③整理得 x0/m=y0/n
考虑到 y0/x0=√2 /2 (即OC的斜率),得 n/m=√2 /2
故椭圆方程可设为 x²/(2t)+y²/(√2t)=1 (t＞0)
整理得 √2x²+2y²-2√2t=0 ………………④
将 y=-x+1代入④整理得 ﹙2+√2﹚x²-4x+2-2√2t=0
x1+x2=4/﹙2+√2﹚ x1·x2=﹙2-2√2t﹚/﹙2+√2﹚
|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√[(x1-x2)²+(-x1+1+x2-1)²]
=√[2(x1-x2)²]
=√2·√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√2·√[(4/﹙2+√2﹚)²-4﹙2-2√2t﹚/﹙2+√2﹚]=2√2
解得 t=3/2
椭圆方程为 x²/3+√2y²/3=1
