求函数y=2根号3cosx+2sin²x-3的值域 及取得最值是相应的x的值

求函数y=2根号3cosx+2sin²x-3的值域 及取得最值是相应的x的值
求函数y=2根号3cosx+2sin²x-3的值域 及取得最值是相应的x的值

求函数y=2根号3cosx+2sin²x-3的值域 及取得最值是相应的x的值
首先把2sin²x转换为2-2cos²x,将cosx视为t,显然t属于[-1,1].
y=2根号3 t-2t²-1
配方得到y=-2(t-2分之根号3)²+1/2
这时利用二次函数的性质,并结合考虑t的取值范围即可得到值域.
显然t=2分之根号3时可以取最大值1/2
t=-1时取最小值-3-2根号3
那么就可以知道x=2nPi+Pi/6时可以取最大值1/2
x=2nPi+Pi时可以取最小值-3-2根号3
n均为整数

Y=2√3cosX+2-2cos²X-3
=-2(cos²X-√3cosX)-1
=-2(cosX-√3/2)²+1/2，
∴当cosX=√3/2即X=30°时，Y最大=1/2，
当cosX=-1，即X=180°时，Y最小=-3-2√3。
值域：［-3-2√3，1/2］。