求Sn=a+aa+aaa+aaaa+aaaaaa……a的和

求Sn=a+aa+aaa+aaaa+aaaaaa……a的和
求Sn=a+aa+aaa+aaaa+aaaaaa……a的和

求Sn=a+aa+aaa+aaaa+aaaaaa……a的和
首先通过一项,比如
aaaaa=a*(11111)=a*(1+10+100+1000+10000)=a*(10^0+10^1+10^2+10^3+10^4)
来确定数列的通项
an=a*(10^0+10^1+10^2+...+10^n-2 + 10^n-1)
为了方便我们这里考虑bn=11111.1这样的数列
bn = 10^0 + 10^1 + 10^2 +...+ 10^n-2 + 10^n-1
bn-1 = 10^0 + 10^1 + 10^2 +...+ 10^n-2
...
b2 = 10^0 + 10^1
b1 = 10^0
所以:
S(bn) = n*10^0 + (n-1)*10^1 +...+ 2*10^n-2 + 10^n-1
上式两边同乘以10
10*S(bn) = n*10^1 + (n-1)*10^2 +...+ 3*10^n-2 + 2*10^n-1 + 10^n
上面两个式子错位相减
9*S(bn) = (10^n + 10^n-1 +...+ 10^2 + 10^1 - n)
=(10^n+1 - 10)/9 - n
所以S(bn) = (10^n+1 -10)/81 - n/9
那么S(an) = a*[(10^n+1 -10 -9*n)/81]

Sn=a(1-a^(n-1))/(1-a)
n趋近于无穷时
a=1时,Sn=n趋近正无穷
a>1时,Sn=a(1-a^(n-1))/(1-a)趋近正无穷
a<1时,Sn=a(1-a^(n-1))/(1-a)=1/(1-a)