作业帮求函数y=(x^2-3x+3)/(x-2) (x>2)的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 02:25:01
求函数y=(x^2-3x+3)/(x-2) (x>2)的最小值
求函数y=(x^2-3x+3)/(x-2) (x>2)的最小值
求函数y=(x^2-3x+3)/(x-2) (x>2)的最小值
用换元法,设t=x-2,t＞0,则
y=(x²-3x+3)/(x-2)
=[(t+2)²-3(t+2)+3]/t
=(t²+t+1)/t
=t + 1/t + 1
≥2√(t·1/t) + 1 (当且仅当t=1/t,也就是t=1时,取“=”,此时x=t+2=3）
=3
因此当x=3时,函数y=(x²-3x+3)/(x-2) (x＞2)取得最小值3.
用a+2来代替x，即a+2=x，则a>0
代入原方程，可以得到：
y=(a^2+a+1)/a
y=a+1/a+1
根据基本不等式，在a>0时，a+1/a>=2，当且仅当a=1/a时。
因此a=1时y有最小值3，此时x=3。
代入原式验算正确。
其中a+1/a>=2这个式子的来源为：
(a-1)^2>=0
即，a^2+1>=2a...
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用a+2来代替x，即a+2=x，则a>0
代入原方程，可以得到：
y=(a^2+a+1)/a
y=a+1/a+1
根据基本不等式，在a>0时，a+1/a>=2，当且仅当a=1/a时。
因此a=1时y有最小值3，此时x=3。
代入原式验算正确。
其中a+1/a>=2这个式子的来源为：
(a-1)^2>=0
即，a^2+1>=2a
在a>0时两边除以a可得
a+1/a>=2
收起
y=(x^2-3x+3)/(x-2)
y(x-2)=x^2-3x+3
x^2-(y+3)x+2y+3=0
(y+3)^2-4(2y+3)>=0
y^2>=3
y>=根号3，或y<=-根号3
而：因x>2, 所以：y=(x^2-3x+3)/(x-2)=[(x-(3/2))^2+(3/4)]/(x-2)>0
所以：y>=根号3
最小值=根号3