作业帮是否存在常数a.b使等式1^3+2^3+……n^3=an^2（n+b)^2对于任意正整数都成立?若成立求出ab并证明,不存在说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/01 11:30:09
是否存在常数a.b使等式1^3+2^3+……n^3=an^2（n+b)^2对于任意正整数都成立?若成立求出ab并证明,不存在说明理由
是否存在常数a.b使等式1^3+2^3+……n^3=an^2（n+b)^2对于任意正整数都成立?若成立求出ab并证明,不存在说明理由
是否存在常数a.b使等式1^3+2^3+……n^3=an^2（n+b)^2对于任意正整数都成立?若成立求出ab并证明,不存在说明理由
存在a=1/4,b=1使等于对于任意正整数都成立!
解法：n=1和n=2得到方程组1=a(1+b)^2,9=4a(2+b)^2
解得a=1/4,b=1
即1^3+2^3+……n^3=n^2*（n+1)^2/4对于任意正整数都成立
用数学归纳法证明如下：
（1）n=1,n=2已成立
（2）假设当n=k(k属于N*,k>=1)时成立,
即1^3+2^3+……k^3=k^2*（k+1)^2/4
则当n=k+1时,
1^3+2^3+……k^3+（k+1)^2=k^2*（k+1)^2/4+(k+1)^3
=(k+1)^2*(k^2/4+k+1)=(k+1)^2*(k^2+4k+4)/4=(k+1)^2*(k+2)^2/4
=(k+1)^2*[(k+1)+1]^2/4
即n=k+1时也成立
（3）综上,1^3+2^3+……n^3=n^2*（n+1)^2/4对于任意正整数都成立
不存在
1^3 = 1 = 1^2
1^3 + 2^3 = 9 = 3^2 ( 1+2 =3 .. so 3^2)
1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = 6^2 ( 1+2+3 =6 .. so 6^2)
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = 10^2 ( 1+2+3+4 =10 .. so 10^2)
then ......
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不存在
1^3 = 1 = 1^2
1^3 + 2^3 = 9 = 3^2 ( 1+2 =3 .. so 3^2)
1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = 6^2 ( 1+2+3 =6 .. so 6^2)
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = 10^2 ( 1+2+3+4 =10 .. so 10^2)
then ....
1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3 = (1+2+3+4...+n)^2=[n(n+1)/2]^2
an^2（n+b)^2=[n(n+1)/2]^2
两边开方化简得到n=一个式子（a不等于1/4 )
然后分别令n等于1和2得到方程组
解得a=1/4 b=1
所以不存在
数学符号不好打，纸上一会就能做出来
给我分吧。累啊
收起
bu dong
应该是存在常数：a=1/4,b=1使等于对于任意正整数都成立。
个人认为：首先可假设存在。由此等式，可以分别令n=1，2，3；组成方程组，从而可解出a,b值，但是这是假设前提，没有一般性。所以是否对所有n成立，还需要证明。
对于这个问题，你可以很容易对求出的a,b值，用数学归纳法证明对于任意n都是成立的。
给分吧，不容易呢。呵呵。...
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应该是存在常数：a=1/4,b=1使等于对于任意正整数都成立。
个人认为：首先可假设存在。由此等式，可以分别令n=1，2，3；组成方程组，从而可解出a,b值，但是这是假设前提，没有一般性。所以是否对所有n成立，还需要证明。
对于这个问题，你可以很容易对求出的a,b值，用数学归纳法证明对于任意n都是成立的。
给分吧，不容易呢。呵呵。
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wef