证明比例的基本性质.

证明比例的基本性质.
证明比例的基本性质.

证明比例的基本性质.
教师应指出,将四条线段成比例转化成四条线段的长度成比例,它具有数的成比例的所有性质,本节先学习比例的基本性质对于线段的应用.
1.比例的基本性质的内容及推导.
（1） 内容：
（2） 特例：
（3） 说明：①引导学生根据等式的性质从正、反两方面进行证明.②教师强调,它的作用是将等积式与比例式互化,由于线段的长度都是正数,因此由一个等积式可得到八种比例式.
2.比例基本性质的应用.应用（1） 判断四条线段是否成比例：将已知四条线段按大小顺序排列,如a>b>c>d ,若最长（a）和最短（d）的两条线段长之积等于其余两条线段长（b,c）之积,则这四条线段a,b,c,d成比例.
例1 判断下列四条线段是否成比例.
① a=2,b=,c=,d=；
② a=,b=3, c=2,d=；
③ a=4,b=6, c=5,d=10；
④ a=12,b=8, c=15,d=10.
说明：教师示范一个例子,其余请学生来巩固练习.
如第①题排序时,将a改写成,d改写成
ab＜b＜d＜c,而ac＝×；bd=×,ad=bd,
a,b,c,d四条线段成比例.
答案：②不成比例；③不成比例；④b,d ,a,c四条线段成比例.
应用（2）按要求将等积式改写成比例式.
教给学生等积式化比例式的方法.按照分类讨论的思想以及“内项积等于外项积”,同时可写出8个比例式,也可根据需要写出其中某一个比例式,要求学生熟练掌握这种比例变形.
例2已知：ad=bc.
（1） 将其改写成比例式；
（2） 写出所有以a,d为内项的比例式；
（3） 写出使b作为第四项比例项的比例式；
（4）若；写出以c作第四比例项的比例式；
分析：教给学生等积式化比例式的方法.
（1）分类讨论.认准等积式中的一条线段,它可以在比例的内项、外项共四个位置出现,以a为例：
(2)找出与a作乘积的项d,放在相应位置上
.
(3)写出其余两项,分别有两种情况,同时交换比例的内项或外项,共可得到八个比例式：
①② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
解(1)见分析(3)(2)
(4)可以先将比例式化为等积式ab=bc,转化为第(3)题再处理,也可以这样处理：①直接同时交换每个比的前项和后项,②交换比例的内项或外项.
应用(3)检查所作的比例变形是否正确,把比例式化为等积式,看与原式所得的等积式是否
桢即可.
如将变形为,由于各自可化为等积式ad=bc,ad=cd,它们不相等,因此所作的比例变形不正确.
四、应用举例、变式练习
例3 计算.
(1)已知：x∶y=5∶4,y∶z=3∶7.求x∶y∶z.
(2)已知：a,b,c为三角形三边长,(a-c) ∶(c+b) ∶(c-d)=2∶7∶(-1),周长为24.求三边长.
分析：将比例式转化为方程(或方程组)来解决问题.
第(1)题可将已知分别看成含同一字母y的方程,表示出x=y,z=y,得x∶y∶z=∶1∶=15∶12∶28.或利用分数的基本性质,将两个比例式中y的对应项系数化成它们的最小公倍数,如x∶y=5∶4=15∶12,y∶z=3∶7=12∶28,得出x∶y∶z=15∶12∶28.
第(2)小题可将比例式改为两个等积式,结合周长得到关于a,b,c的三元一次方程组；
例4 在相同时刻的物高与影长成比例,如果一古塔在地面上影长为50m,同时,高为1.5m的测竿的影长为2.5m,那么,古塔的高是多么米?
分析：
(1)利用比例的知识测量不可直接到达的物体的高度,是比例的很重要的一个应用；
(2)“相同时刻的物高与影长成比例”的实际含义是指同一时刻,两物体的高与它们对应的影长的比相等；
(3)列出比例式,得到关于古塔高度的方程求解(古塔高为30m).
例5(选用)已知：如图5-5,AB=10cm,AD=2cm,BC=7.2cm,E为BC中点.求EF,BF的长.(答：0.72cm,2.88cm)
分析：应着重培养学生的分析能力,分析图中哪些线段可知长度,并列出关于一个末知数的方程来解决问题.
练习 课本第204页第1,2题.
补充练习 如图5-6,AG·BC=DE·AH.(1) 写出由以上等积式得到的八个比例式；(2)若DE=12,BC=15,GH=3.求AH的长.(15)
五、师生共同小结
在学生尝试总结的基础上,教师强调：
1.比例线段的有关概念和注意事项.
2.比例的基本性质的内容.它是怎样证明的?有哪些应用?应用时有哪些需要注意的问题?
3.将比例式看成方程解决问题的观点.
六、作业
课本第207页第4题,第203页第1,2,3题.
1.成比例线段的顺序性课本虽然强调了,但学生体会不深,需要教师课堂举例让学生理解透彻,而且如何判断四条线段成比例,最好教给学生切实可行的措施.
2.比例的基本性质是后边证明三角形相似以及证明等积式、比例式经常用到的基础知识,教师应教给学生如何熟练利用性质进行比例变形,如何检查变形是否正确.例如根据需要化乘积式为比例式的方法,使学生能逐渐熟练巩固这些性质,为后边“相似三角形”的学习扫清障碍,打好基础.