作业帮数列{an}的前n项和Sn=n*n,数列{bn}满足bn=an/an+m(m属于N*)是否存在m,使得数列bn中存在某项bt满足b1,b4,bt（t∈N*,t≥5）成等差数列?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/01 13:25:59
数列{an}的前n项和Sn=n*n,数列{bn}满足bn=an/an+m(m属于N*)是否存在m,使得数列bn中存在某项bt满足b1,b4,bt（t∈N*,t≥5）成等差数列?
数列{an}的前n项和Sn=n*n,数列{bn}满足bn=an/an+m(m属于N*)
是否存在m,使得数列bn中存在某项bt满足b1,b4,bt（t∈N*,t≥5）成等差数列?
数列{an}的前n项和Sn=n*n,数列{bn}满足bn=an/an+m(m属于N*)是否存在m,使得数列bn中存在某项bt满足b1,b4,bt（t∈N*,t≥5）成等差数列?
a1=S1=1²=1
Sn=n²
Sn-1=(n-1)²
an=Sn-Sn-1=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时,a1=2-1=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=2n-1.
bn=an/(an+m)=(2n-1)/(2n-1+m)
m=0时,bn=(2n-1)/(2n-1)=1,各项均为1,任意不小于5的自然数都满足题意.
m≠0时,
假设存在满足题意的t,则
2b4=b1+bt
2[(2×4-1)/(2×4-1+m)]=(2×1-1)/(2×1-1+m)+(2t-1)/(2t-1+m)
整理,得
t=(7m²+m) /(m²-5m)=(7m+1)/(m-5)=(7m-35+36)/(m-5)=7+36/(m-5)
t≥5 7+36/(m-5)≥5 解得m>5
要t为自然数,则36/(m-5)为正整数.m可以为6、7、8、9、11、14、17、23、41
m=6 t=43
m=7 t=25
m=8 t=19
m=9 t=16
m=11 t=13
m=14 t=11
m=17 t=10
m=23 t=9
m=41 t=8
综上得满足题意的m值共10个：0、6、7、8、9、11、14、17、23、41.