已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 16:43:23
已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A
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已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A
已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A

已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A
先证明一个结论：G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0点G是三角形ABC的重心 (GA ,GB,GC,0为向量)
【证明】（1）若已知GA+GB+GC=0,
取BC中点D,连结并延长GD至E,使DE=GD,则四边形BGCE是平行四边形
∴向量GB=向量CE
∴向量GB+向量GC=向量CE+向量GC=向量GE
由向量GA+向量GB+向量GC=0得:向量GB+向量GC=-向量GA=向量AG
∴向量AG和向量GE共线===>A、G、E三点共线而D在GE上,
∴A、G、D三点共线而点D又是BC中点,
∴AD(即AG)是三角形ABC中BC边上的中线
同理可证BG是AC边上的中线,CG是AB边上的中线
∴点G是三角形ABC的重心.
（2）若已知点G是三角形ABC的重心,
以GA、GB为邻边做平行四边形AGBD,设GD交AB于E
则向量GD=向量GA+向量GB
又向量GE=-向量GC/2=向量GD/2===>-向量GC=向量GD
∴-向量GC=向量GA+向量GB
∴向量GA+向量GB+向量GC=0向量
本题中：G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3c向量GC=0,
又因GA+GB+GC=0,所以GA=-GB–GC,
代入得：a(-GB–GC) +b向量GB+根3c向量GC=0,
整理得：(b-a) 向量GB+(√3c-a) 向量GC=0,
因为向量GB,向量GC不共线,所以只有b- a =0,√3c-a =0,
三角形是等腰三角形,
根据余弦定理得：cosA=（b^2+c^2-a^2）/(2bc)= √3/6,
由此可得∠A的大小.

已知点G是三角形ABC的重心,则向量GA+向量GB+向量GC= 已知G是三角形ABC的重心,且56sinA*GA(向量)+40sinB*GB(向量)+35sinC*GC(向量)=0(向量).则角B的大小无 已知G是三角形ABC的重心,且a向量GA+b向量GB+根3倍的向量GC=0,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,求角A 若G是三角形ABC的重心,则向量GA+向量GB+向量GC=? 设G是三角形ABC的重心,且sinA*向量GA+sinB*向量GB+sinC*向量GC=向量0,则角B的大小为多 已知三角形ABC的三边为a,b,c,所对角为A,B.C,G为三角形ABC重心,且a*向量GA+根号3*b*向量GB+根号3*c*向量GC=0向量（1）求证：向量GA+向量GB+向量GC=0向量（2）求角A 向量GA+向量GB+向量GC=0,求证G是三角形ABC重心.向量GA+向量GB+向量GC=0求证：G是三角形ABC重心 已知A.B.C是不公线的三点,G是三角形ABC内一点,若向量GA+向量GB+向量GC=0,求G是ABC的重心 设G是三角形ABC的重心,且sinA*向量GA+sinB*向量GB+sinC*向量GC=0,则角B的大小为多 G为三角形ABC的重心,求证:向量GA+向量GB+向量GC=0 一道数学题（请亲们画图说明）已知A,B,C为不共线的三点,G为△ABC的内的一点,若向量GA+向量GB+向量GC=向量0,求证：点G是△ABC的重心.反之若点G是△ABC的重心,求证：向量GA+向量GB+向量GC=向量0 一道数学题（请亲们画图说明）已知A,B,C为不共线的三点,G为△ABC的内的一点,若向量GA+向量GB+向量GC=向量0,求证：点G是△ABC的重心.反之若点G是△ABC的重心,求证：向量GA+向量GB+向量GC=向量0 （证明题）在三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,点G是三边中线AD,BE,CF的交点（即G是三角形ABC的重心） 且a*向量GA+b*向量GB+C*向量GC=0（a不是向量）.求证：1.向量GA+向量GB+向量GC=0.2.三角 在三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,点G是三边中线AD,BE,CF的交点（即G是三角形ABC的重心）,a向量GA+b向量GB+C向量GC=0.求证：1.向量GA+向量GB+向量GC=0.2.三角形ABC是等边三角形. 已知三角形ABC的重心为G内角ABC的对边分别为abc若a（向量GA）+b（向量GB）+√3/3（向量GC）=0求角A 已知G为三角形ABC重心,求证：GA向量+GB向量+GC向量=0,尽量写得详细些 设G是三角形ABC的重心,且（56sinA）向量GA+（40sinB）向量GB+（35sinC）向量GC=向量0 ,则角B的大小为? 设G是三角形ABC的重心,且（56sinA)乘向量GA+（40sinB)乘向量GB+(35sinC)乘向量GC=零向量,求∠B的大小?