n大于等于1,θ不是π的倍数,求证sinθ+sin3θ+...+sin((2n-1)θ)=sin^2(nθ)/sinθ

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 15:22:51
n大于等于1,θ不是π的倍数,求证sinθ+sin3θ+...+sin((2n-1)θ)=sin^2(nθ)/sinθ
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n大于等于1,θ不是π的倍数,求证sinθ+sin3θ+...+sin((2n-1)θ)=sin^2(nθ)/sinθ
n大于等于1,θ不是π的倍数,求证sinθ+sin3θ+...+sin((2n-1)θ)=sin^2(nθ)/sinθ

n大于等于1,θ不是π的倍数,求证sinθ+sin3θ+...+sin((2n-1)θ)=sin^2(nθ)/sinθ
数学归纳法：
（前面略）
假设当N=n时成立,即sinθ+sin(3θ)+...+sin[(2n-1)θ]=sin^2(nθ)/sinθ
则当N=n+1时
sinθ+sin(3θ)+...+sin{[2(n+1)-1]θ}=sin[(2n+1)θ]+sin^2(nθ)/sinθ
={sinθsin[(2n+1)θ]+sin^2(nθ)}/sinθ
={sinθ[sin(2nθ)cosθ+cos(2nθ)sinθ]+[1-cos(2nθ)]/2}/sinθ
={sin(2θ)sin(2nθ)/2+cos(2nθ)[1-cos(2θ)]/2+1/2-cos(2nθ)/2}/sinθ
=[sin(2θ)sin(2nθ)-cos(2θ)cos(2nθ)+1]/(2sinθ)
=[-cos(2nθ+2θ)+1]/(2sinθ)
={-cos[2(n+1)θ]+1}/(2sinθ)
=2sin^2[(n+1)θ]/(2sinθ)
=sin^2[(n+1)θ]/sinθ
所以当N=n时成立,则当N=n+1时也成立,所以原式成立.


需要利用积化和差公式
∵ 2sinθ*[sinθ+sin3θ+...+sin((2n-1)θ)]
=2sinθsinθ+2sinθsin3θ+....+2sinθsin[(2n-1)θ]
=cos0-cos2θ+cos2θ-cos4θ+cos4θ-cos6θ+....+cos(2n-2θ)-cos(2nθ)
=cos0-cos(2nθ)
=1-cos(2nθ)
=2sin²(nθ)
∴ sinθ+sin3θ+...+sin((2n-1)θ)=sin²(nθ)/sinθ

n大于等于1,θ不是π的倍数,求证sinθ+sin3θ+...+sin((2n-1)θ)=sin^2(nθ)/sinθ 已知正整数n不是4的倍数,求证1^n+2^n+3^n+4^n是10的倍数. 求证：n的n+1次方大于n+1的n次方(n大于或等于3,n属于N) 求证2的n大于等于n乘2的(n-1)/2次方加1 为什么当n为大于等于1的自然数时,sin(1/(2^n)) 求证：当n为大于1的正整数时（2n）×（n²-1）是12的倍数 （2n+1）×（2n²+2n）是12的倍数 n属于N*,且为3的倍数,求证：3^n-1是13的倍数. 设N是一个自然数,他不是2和3的倍数,求证：N^+5一定是6的倍数.. 设n是一个自然数,它不是2的倍数,也不是3的倍数,求证:(n平方)+5一定是6的倍数. 求证：1/√(n+2)＜√(n+2)-√n和1/√[n(n+1)]＜√n-√(n-1)【n大于等于2】【n大于等于2】是第二个问题的条件 求证：当n属于正整数,且大于等于2时,3的n次幂大于[2的（n-1）次幂乘（n+2）] 已知A1,A2.An.属于（0,π）,n是大于一的正整数,求证|sin（A1+A2+...An)| 有n个整数它们的积等于n,和等于2014,求证n是4的倍数 若m,n为正整数,m>n>=1.且4^m+4^n为100的倍数,求m+n的最小值.m大于n大于等于1 求证3的 N次方大于等于N 的3次方(N为任何数) 求证n与2n之间存在素数 n为大于等于2的自然数 求证：n(n+1)(n-1)为3的倍数 (n为整数） 求证:对于任意自然数n,n的平方+n+2都不是5的倍数 都写详细过程.