作业帮已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+π/4）× sin（x-π/4）（1）当m=0时,求f（x）在区间[ π/8 ,3π/4 ]上的取值范围（2）当tanα=2时,f（α）=3/5,求m的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 06:56:26
![已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+π/4）× sin（x-π/4）（1）当m=0时,求f（x）在区间[ π/8 ,3π/4 ]上的取值范围（2）当tanα=2时,f（α）=3/5,求m的值](/uploads/image/z/5225024-56-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3D%EF%BC%881%2Bcotx%EF%BC%89sin%26%23178%3Bx%2Bmsin%EF%BC%88x%2B%CF%80%2F4%EF%BC%89%C3%97+sin%EF%BC%88x-%CF%80%2F4%EF%BC%89%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%BD%93m%3D0%E6%97%B6%2C%E6%B1%82f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B+%CF%80%2F8+%2C3%CF%80%2F4+%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%BD%93tan%CE%B1%3D2%E6%97%B6%2Cf%EF%BC%88%CE%B1%EF%BC%89%3D3%2F5%2C%E6%B1%82m%E7%9A%84%E5%80%BC)
已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+π/4）× sin（x-π/4）（1）当m=0时,求f（x）在区间[ π/8 ,3π/4 ]上的取值范围（2）当tanα=2时,f（α）=3/5,求m的值
已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+π/4）× sin（x-π/4）
（1）当m=0时,求f（x）在区间[ π/8 ,3π/4 ]上的取值范围
（2）当tanα=2时,f（α）=3/5,求m的值
已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+π/4）× sin（x-π/4）（1）当m=0时,求f（x）在区间[ π/8 ,3π/4 ]上的取值范围（2）当tanα=2时,f（α）=3/5,求m的值
(1) m=0时
f(x)=sin^2x+sinxcosx
=(1/2)[1-cos2x+sin2x]
=(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2
当2x-π/4=π/2 x=3π/8是f(x)max=(√2+1)/2
而f(π/8)=(√2/2)*0+1/2=1/2 f(3π/4)=(√2/2)sin(5π/4)+1/2=1/2-1/2=0
∴f（x）在区间[ π/8 ,3π/4 ]上的取值范围是[0,(√2+1)/2]
(2) 当tanα=2时,cotα=1/2 sin^2α=1/(1+cot^2α)=4/5 cos^2α=3/5
此时f(α)=3/5
∴3/5=(1+1/2)*(4/5)+m*(1/2)(sin^2α-cos^2α)=6/5+m*(1/2)(4/5-3/5)
∴m/10=3/5-6/5
∴m=-6
（1）当m=0时，
f（x）=（1+cotx）sin²x=sin²x+cosxsinx=（1-cos2x）/2+sin2x/2=（1-cos2x+sin2x)/2
=[1+√2sin(2x-π/4)]/2
f（x）在区间[ π/8 , 3π/4 ]上
x=3π/4时，f（x）有最小值0
当x=3π/8时，f（x）有最大值（1+√2）/2<...
全部展开
（1）当m=0时，
f（x）=（1+cotx）sin²x=sin²x+cosxsinx=（1-cos2x）/2+sin2x/2=（1-cos2x+sin2x)/2
=[1+√2sin(2x-π/4)]/2
f（x）在区间[ π/8 , 3π/4 ]上
x=3π/4时，f（x）有最小值0
当x=3π/8时，f（x）有最大值（1+√2）/2
取值范围是［0,（1+√2）/2
]（2）当tanα=2时，f（α）=3/5
则cotα=1/2
sin²α=1-cos²α=1-1/sec²α=1-1/(1+tan²α)=4/5
sin（α+π/4）× sin（α-π/4）=(cos90-cos2α)/2=(-cos2α)/2=(2sin²α-1)/2=3/10
所以
3/5＝（1＋1/2）4/5+m*3/10
m=-2
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