作业帮已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=5且f(x+4)=-f(x),则f(2012)+f(2015)的值为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 03:40:23
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=5且f(x+4)=-f(x),则f(2012)+f(2015)的值为
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=5且f(x+4)=-f(x),则f(2012)+f(2015)的值为
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=5且f(x+4)=-f(x),则f(2012)+f(2015)的值为
∵f(x+4)=-f(x),
∴f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=f(x)
∴f(x)为周期函数,周期T=8
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数
f(1)=5
∴f(-1)=-5,
f(-0)=-f(0)=0
∴f(2012)+f(2015)
=f(2008+4)+f(2000+7)
=f(4)+f(7)
=-f(0)+f(-1)
=0-5
=-5
f(x+4)=f(-x) ; -f((x+4))=f(x);
f(-(x+4))=f(x)
把x+4看做一个整体，由f(-x)=f(x+4)
得 f(-(x+4))=f((x+4)+4)=f(x+8)=f(x)
所以函数周期为8
f(1)=f(8n+1)=5
f(2012)=f(251*8+4)=f(4)
f(2015)=f(251*8+7...
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f(x+4)=f(-x) ; -f((x+4))=f(x);
f(-(x+4))=f(x)
把x+4看做一个整体，由f(-x)=f(x+4)
得 f(-(x+4))=f((x+4)+4)=f(x+8)=f(x)
所以函数周期为8
f(1)=f(8n+1)=5
f(2012)=f(251*8+4)=f(4)
f(2015)=f(251*8+7)=f(7)
f(1)=f(-3+4)=-f(-3)=f(3)=5
f(3+4)=-f(3)=-5=f(7);
f(0+4)=-f(0)=0=f(4) 连续奇函数必过原点
f(2012)+f(2015)=f(4)+f(7)=0+-5=-5
收起
由函数定义为奇函数可知当x=0时，函数值为零，f(x+4)=-f(x)=f（-x），可知这个函数的周期进率为8，f（1）=5，f(2012)=f(4),f(2015)=f(7),所以f（2012）+f（2015）=-5.