作业帮【高中数学】f(x)=x^2-6x+5,实数x,y满足条件f(x)-f(y)≥0且1≤x≤5,求y／x的最大值?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 14:37:43
【高中数学】f(x)=x^2-6x+5,实数x,y满足条件f(x)-f(y)≥0且1≤x≤5,求y／x的最大值?
【高中数学】f(x)=x^2-6x+5,实数x,y满足条件f(x)-f(y)≥0且1≤x≤5,求y／x的最大值?
【高中数学】f(x)=x^2-6x+5,实数x,y满足条件f(x)-f(y)≥0且1≤x≤5,求y／x的最大值?
因为f(x)-f(y)≥0
所以(x^2-6x+5)-(y^2-6y+5)≥0
所以(x-y)(x+y-6)≥0
若x-y≥0,x+y-6≥0,
则1≥y/x,x+y≥6,且1≤x≤5
所以y/x最大为1；最小为当x=5,y=1时,为1/5
若x-y≤0,x+y-6≤0
则1≤y/x,x+y≤6
所以y/x最大为当y=5,x=1为5,最小为1
综上所述,y/x的最大值为5,最小值1/5
最大值是1
f(x)-f(y)≥0知（x-y）(x+y-6)>=0
设y/x=t
有（1-t）(t-(6/x-1))>=0
因为1≤x≤5
所以1>=6/x-1>=0
所以6/x≤t≤1
所以最大值是1
这种方法如果理解不了，下面有一种好理解的方法。
首先把f(x)=x^2-6x+5配平方得：f(x)=（x-3)^2-4。
通过这个我们可以得到在1≤x≤5范围内，f(x)=（x-3)^2-4
f(x)-f(y)≥0可以得出几种情况：
1. 5≥x≥y≥3此时最大比值为1
2. 3≥y≥x≥1此时最大比值是x=y的情况，也就是比值是3
3....
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这种方法如果理解不了，下面有一种好理解的方法。
首先把f(x)=x^2-6x+5配平方得：f(x)=（x-3)^2-4。
通过这个我们可以得到在1≤x≤5范围内，f(x)=（x-3)^2-4
f(x)-f(y)≥0可以得出几种情况：
1. 5≥x≥y≥3此时最大比值为1
2. 3≥y≥x≥1此时最大比值是x=y的情况，也就是比值是3
3. 绝对值x-3≥绝对值3-y 得出最大比值是y=5时x=1最大值为5
综上所述，最大值为5.
或者你可以这样想，通过完全平方后得到f(x)=（x-3)^2-4，这是关于3对称的抛物线，x=5时和x=1时，都有f(x)=0。这样我们就可以令f(x)-f(y)≥0中的x=1，y=5,这样的话f(x)-f(y)=0完全符合f(x)-f(y)≥0它的要求。也是在1≤x≤5范围内所能取到的最大比值，最大比值是5.
收起
有：f（5）=0，f（1）=0
故可取到： y=5，x=1 满足 ：f(x)-f(y)≥0，且
y/x = 5/1=5 .
又：1≤x ≤5 ,1≤ y ≤5
故恒有：y/x ≤ 5/x ≤ 5/1=5
从而：y／x的最大值为 5。